Ta có giả thiết:
Tam giác ABC có AB < AC. Đường trung trực của BC cắt AC tại D. Điểm K là một điểm bất kì khác D nằm trên đường trung trực của BC. So sánh chu vi hai tam giác KAB và DAB.
Vì D và K đều nằm trên đường trung trực của BC nên
DB = DC và KB = KC.
Do D thuộc AC và AB < AC nên suy ra
AD = AC − CD > AC − CB.
Xét hai tam giác KAB và DAB:
Chu vi tam giác KAB là
P(KAB) = KA + KB + AB.
Chu vi tam giác DAB là
P(DAB) = DA + DB + AB.
So sánh từng cặp cạnh:
AB là cạnh chung.
KB = KC > DB = DC (vì K khác D và nằm ngoài đoạn BC).
Mặt khác, KA > DA do A nằm gần D hơn K trên tia AD.
Suy ra
KA + KB > DA + DB.
Cộng AB vào hai vế, ta được
KA + KB + AB > DA + DB + AB.
Vậy
chu vi tam giác KAB lớn hơn chu vi tam giác DAB.
Kết luận:
Chu vi tam giác KAB > chu vi tam giác DAB.
