Question

[Mức độ 3] Hệ Thống Định Vị Vệ Tinh Toàn Cầu Beidou (Bắc Đẩu) hiện tại có 35 vệ tinh, mỗi vệ tinh cách Trái Đất khoảng 35000 km, ta coi Trái Đất là khối cầu có bán kính \( R = 6{,}4 \) (nghìn km). Với hệ tọa độ \( Oxyz \) đã chọn, \( O \) là tâm Trái Đất và đơn vị trên mỗi trục là nghìn km, hai vệ tinh có tọa độ \( A(30;0;0) \), \( B(0;30;0) \). Xét điểm \( M(x;y;z) \) thuộc bề mặt Trái Đất. Tính giá trị nhỏ nhất của \( MA+MB \) theo đơn vị nghìn km (làm tròn đến hàng phần chục).

Answer 1

A, B đều nằm trên Oxy nên phẳng hóa bài toán về Oxy (chắc chắn M sẽ nằm trên Oxy)

\(A\left(30;0\right);B\left(0;30\right)\)

Phương trình đường tròn chứa M:

\(x^2+y^2=6,4^2\)

\(MA+MB=\sqrt{\left(x-30\right)^2+y^2}+\sqrt{\left(y-30\right)^2+x^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y-60\right)^2+\left(x+y\right)^2}\)

Đặt \(x+y=t\Rightarrow t^2\le2.6,4^2=81,92\)

\(f\left(t\right)=\left(t-60\right)^2+t^2=2\left(t^2-60t+1800\right)\)

Xét min hàm f(t) với \(t\in\left[-\sqrt{81,92};\sqrt{81,92}\right]=D\)

\(f'\left(t\right)=2t-60< 0;\forall t\in D\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) nghịch biến \(\Rightarrow f\left(t\right)_{min}=f\left(\sqrt{81,92}\right)\)

\(\Rightarrow MA+MB_{min}=\sqrt{\left(\sqrt{81,92}-60\right)^2+81,92}\)