Question

Bài 6.
a) Tính giá trị của đa thức:
\[ P(x) = x^8 - 1001x^7 + 1001x^6 - 1001x^5 + \ldots + 1001x^2 - 1001x + 250 \text{ tại } x = 1000 \]
b) Cho đa thức \( g(x) \) thỏa mãn \( (4-x^2)g(x-1) = (x+7)g(x+2) \).
Chứng minh rằng đa thức \( g(x) \) có ít nhất 3 nghiệm.

Answer 1

a: Khi x=1000 thì x+1=1001

\(P\left(x\right)=x^8-1001x^7+1001x^6-...+1001x^2-1001x+250\)

\(=x^8-x^7\left(x+1\right)+x^6\left(x+1\right)-...+x^2\left(x+1\right)-x\left(x+1\right)+250\)

\(=x^8-x^8-x^7+x^7+...-x^2-x+250\)

=-x+250

=-1000+250

=-750

b:

Khi x=2 thì \(\left(4-2^2\right)\cdot G\left(2-1\right)=\left(2+7\right)\cdot G\left(2+2\right)\)

=>\(9\cdot G\left(4\right)=0\cdot G\left(1\right)=0\)

=>G(4)=0

=>x=4 là nghiệm của G(x)

Khi x=-2 thì \(\left[4-\left(-2\right)\right]^2\cdot G\left(-2-1\right)=\left(-2+7\right)\cdot G\left(-2+2\right)\)

=>\(5\cdot G\left(0\right)=0\)

=>G(0)=0

=>x=0 là nghiệm của G(x)

Khi x=-7 thì \(\left[4-\left(-7\right)\right]^2\cdot G\left(-7-1\right)=\left(-7+7\right)\cdot G\left(-7+2\right)\)

=>\(-45\cdot G\left(-8\right)=0\)

=>G(-8)=0

=>x=-8 là nghiệm của G(x)

Do đó: G(x) có ít nhất là 3 nghiệm