a: Vì QI là phân giác của góc ngoài tại Q của ΔPQR
nên QI là phân giác của góc PQH
Vì RI là phân giác của góc ngoài tại R của ΔPQR
nên RI là phân giác của góc PRK
Xét ΔPQH có
QI là đường cao
QI là đường phân giác
Do đó: ΔPQH cân tại Q
=>QP=QH
Xét ΔRPK có
RI là đường cao
RI là đường phân giác
Do đó: ΔRPK cân tại R
=>RP=RK
\(C_{PQR}=PQ+PR+QR\)
=HQ+QR+RK
=HK
b: Vì ΔQPH cân tại Q có IQ là đường cao
nên IQ là đường trung trực của PH
=>IP=IH
Vì ΔRPK cân tại R có RI là đường cao
nên RI là đường trung trực của PK
=>IP=IK
mà IP=IH
nên IK=IH
=>I nằm trên đường trung trực của KH
c: Kẻ IA,IM,IN lần lượt vuông góc với QR, PQ,PR
Xét ΔQMI vuông tại M và ΔQAI vuông tại A có
QI chung
\(\widehat{MQI}=\widehat{AQI}\)
Do đó: ΔQMI=ΔQAI
=>IM=IA
Xét ΔRAI vuông tại A và ΔRNI vuông tại N có
RI chung
\(\widehat{ARI}=\widehat{NRI}\)
Do đó: ΔRAI=ΔRNI
=>IA=IN
=>IM=IN
Xét ΔPMI vuông tại M và ΔPNI vuông tại N có
PI chung
IM=IN
Do đó: ΔPMI=ΔPNI
=>\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\)
Do đó: PI là phân giác của góc MPN
