a) \(\sum\left(b^2-c^2\right)\cot A=0\)
\(\Leftrightarrow\sum\left(b^2-c^2\right).\dfrac{a}{\sin A}.bc\cos A=0\)
\(\Leftrightarrow\sum\left(b^2-c^2\right)bc\cos A=0\)
\(\Leftrightarrow\sum\left(b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\sum\left(b^4-c^4\right)-\sum a^2\left(b^2-c^2\right)=0\) (đúng)
Vậy ta có điều cần chứng minh.
b) \(\sum\dfrac{1}{\left(p-a\right)^2}\ge\dfrac{1}{r^2}\Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{\left(p-a\right)^2}\ge\dfrac{p^2}{S^2}\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{\left(p-a\right)^2}\ge\dfrac{p}{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) (áp dụng công thức Heron)
\(\Leftrightarrow\sum\left(p-b\right)^2\left(p-c\right)^2\ge p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p\left(p-a\right)}\ge1\).
Ta chứng minh rằng, \(\tan\dfrac{A}{2}=\sqrt{\dfrac{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p\left(p-a\right)}}\)
Thật vậy, ta có:
\(\tan\dfrac{A}{2}=\sqrt{\dfrac{1-\cos A}{1+\cos A}}=\sqrt{\dfrac{a^2-\left(b-c\right)^2}{\left(b+c\right)^2-a^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}}=\sqrt{\dfrac{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{\left(p-a\right)p}}\)
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\sum\tan^2\dfrac{A}{2}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{1-\cos A}{1+\cos A}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{\cos A}{1+\cos A}\le1\)
Ta có: \(\sum\cos A=\dfrac{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)}{2abc}\le\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\) (theo bất đẳng thức Schur).
Áp dụng bất đẳng thức C-B-S, ta có:
\(\sum\dfrac{\cos A}{1+\cos A}\le\dfrac{1}{9}\sum\left(\dfrac{\cos A}{2}+\dfrac{\cos A}{2}+\dfrac{\cos A}{\cos A}\right)\)
\(=\sum\dfrac{\cos A}{9}+\dfrac{1}{3}\le\dfrac{\dfrac{3}{2}}{9}+\dfrac{1}{3}=1\) =>đpcm.
c) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
\(\sum\sqrt{\dfrac{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p-a}}\ge\sqrt{3p}\left(1\right)\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=p-a\\y=p-b\\z=p-c\end{matrix}\right.\Rightarrow x+y+z=p\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sum\sqrt{\dfrac{bc}{a}}\ge\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}+2\left(a+b+c\right)\ge3\left(a+b+c\right)\)
Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức cuối bằng bất đẳng thức AM-GM. Vậy ta có điều phải chứng minh.
