Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ẩn danh
Trần Tuấn Hoàng
1 tháng 8 2024 lúc 21:52

a) \(\sum\left(b^2-c^2\right)\cot A=0\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(b^2-c^2\right).\dfrac{a}{\sin A}.bc\cos A=0\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(b^2-c^2\right)bc\cos A=0\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(b^4-c^4\right)-\sum a^2\left(b^2-c^2\right)=0\) (đúng)

Vậy ta có điều cần chứng minh.

b) \(\sum\dfrac{1}{\left(p-a\right)^2}\ge\dfrac{1}{r^2}\Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{\left(p-a\right)^2}\ge\dfrac{p^2}{S^2}\) 

\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{\left(p-a\right)^2}\ge\dfrac{p}{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) (áp dụng công thức Heron)

\(\Leftrightarrow\sum\left(p-b\right)^2\left(p-c\right)^2\ge p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\)

\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p\left(p-a\right)}\ge1\).

Ta chứng minh rằng, \(\tan\dfrac{A}{2}=\sqrt{\dfrac{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p\left(p-a\right)}}\)

Thật vậy, ta có:

\(\tan\dfrac{A}{2}=\sqrt{\dfrac{1-\cos A}{1+\cos A}}=\sqrt{\dfrac{a^2-\left(b-c\right)^2}{\left(b+c\right)^2-a^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}}=\sqrt{\dfrac{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{\left(p-a\right)p}}\)

Vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\sum\tan^2\dfrac{A}{2}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{1-\cos A}{1+\cos A}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{\cos A}{1+\cos A}\le1\)

Ta có: \(\sum\cos A=\dfrac{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)}{2abc}\le\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\) (theo bất đẳng thức Schur).

Áp dụng bất đẳng thức C-B-S, ta có:

\(\sum\dfrac{\cos A}{1+\cos A}\le\dfrac{1}{9}\sum\left(\dfrac{\cos A}{2}+\dfrac{\cos A}{2}+\dfrac{\cos A}{\cos A}\right)\)

\(=\sum\dfrac{\cos A}{9}+\dfrac{1}{3}\le\dfrac{\dfrac{3}{2}}{9}+\dfrac{1}{3}=1\) =>đpcm.

Trần Tuấn Hoàng
1 tháng 8 2024 lúc 22:24

c) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

\(\sum\sqrt{\dfrac{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p-a}}\ge\sqrt{3p}\left(1\right)\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=p-a\\y=p-b\\z=p-c\end{matrix}\right.\Rightarrow x+y+z=p\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sum\sqrt{\dfrac{bc}{a}}\ge\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}+2\left(a+b+c\right)\ge3\left(a+b+c\right)\)

Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức cuối bằng bất đẳng thức AM-GM. Vậy ta có điều phải chứng minh.


Các câu hỏi tương tự
๖ۣۜHewwy❤‿❧❤Fei❤☙
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Nguyễn Bá Hùng
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết