Sửa đề:Cho đa thức P(x)= ax3+bx2+cx+d có các hệ số a, b, c, d nguyên. Biết rằng P(x) \(⋮\) 5 với mọi số nguyên x. Chứng minh a, b, c, d chia hết cho 5.
Giải:
\(P\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d⋮5\)
\(\Rightarrow P\left(0\right)=d⋮5\left(1\right)\)
\(\Rightarrow P\left(1\right)=a+b+c+d⋮5\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow a+b+c⋮5\)
\(\Rightarrow P\left(-1\right)=-a+b-c+d⋮5\left(3\right)\)
Từ \(\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow2b+2d⋮5\left(4\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(4\right)\Rightarrow2b⋮5\Rightarrow b⋮5\)
\(\Rightarrow b;d⋮5\left(5\right)\)
Từ \(\left(2\right);\left(5\right)\Rightarrow a+c⋮5\left(6\right)\)
\(\Rightarrow P\left(2\right)=8a+4b+2c+d⋮5\)
\(\Rightarrow3a+2c⋮5\left(7\right)\)
Từ \(\left(6\right);\left(7\right)\Rightarrow a⋮5\Rightarrow c⋮5\)
\(\Rightarrow a;b;c;d⋮5\left(đpcm\right)\)
