a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có
AB=AC
AH chung
Do đó: ΔAHB=ΔAHC
=>\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)
=>AH là phân giác của góc BAC
b: ΔAHB=ΔAHC
=>BH=CH
Xét ΔHMB vuông tại M và ΔHNC vuông tại N có
HB=HC
\(\widehat{MBH}=\widehat{NCH}\)
Do đó: ΔHMB=ΔHNC
=>BM=CN
c: Ta có: ΔHMB=ΔHNC
=>HM=HN
=>HP=HN
=>ΔHPN cân tại H
Ta có: AM+MB=AB
AN+NC=AC
mà MB=NC và AB=AC
nên AM=AN
=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)
Ta có: HM=HN
=>H nằm trên đường trung trực của MN(2)
Từ (1),(2) suy ra AH là đường trung trực của MN
=>AH\(\perp\)MN tại trung điểm của MN
Xét ΔMNP có
NH là đường trung tuyến
\(NH=\dfrac{MP}{2}\)
Do đó; ΔMNP vuông tại N
=>MN\(\perp\)NP
mà MN\(\perp\)AH
nên NP//AH
mà AH\(\perp\)BC
nên NP\(\perp\)BC
ΔHNP cân tại H
mà HC là đường cao
nên HC là phân giác của góc NHP
Xét ΔHNC và ΔHPC có
HN=HP
\(\widehat{NHC}=\widehat{PHC}\)
HC chung
Do đó: ΔHNC=ΔHPC
=>\(\widehat{HCP}=\widehat{HCN}\)
=>\(\widehat{PCB}=\widehat{ABC}\)
=>CP//AB
d: Ta có: AH\(\perp\)MN tại trung điểm của MN
=>K là trung điểm của MN
ΔHNP cân tại H
mà HE là đường cao
nên E là trung điểm của NP
Xét ΔMNP có
ME,NH là các đường trung tuyến
ME cắt NH tại Q
Do đó: Q là trọng tâm của ΔMNP
Xét ΔMNP có
Q là trọng tâm
K là trung điểm của MN
Do đó: P,Q,K thẳng hàng
