a: Ta có: \(\hat{DAC}=\hat{DAB}+\hat{BAC}=90^0+\hat{BAC}\)
\(\hat{BAE}=\hat{BAC}+\hat{CAE}=90^0+\hat{BAC}\)
Do đó: \(\hat{DAC}=\hat{BAE}\)
Xét ΔDAC và ΔBAE có
DA=BA
\(\hat{DAC}=\hat{BAE}\)
AC=AE
Do đó: ΔDAC=ΔBAE
=>\(\hat{ADC}=\hat{ABE}\)
Gọi O là giao điểm của DC và BE
Xét tứ giác ADBO có \(\hat{ADO}=\hat{ABO}\)
nên ADBO là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{DAB}=\hat{DOB}\)
=>\(\hat{DOB}=90^0\)
=>BE⊥DC tại O
b: Trên tia đối của tia MA, lấy X sao cho MA=MX. Gọi F là giao điểm của AM và DE.
Xét ΔMAB và ΔMXC có
MA=MX
\(\hat{AMB}=\hat{XMC}\) (hai góc đối đỉnh)
MB=MC
Do đó: ΔMAB=ΔMXC
=>\(\hat{MAB}=\hat{MXC}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AB//XC
=>\(\hat{BAC}+\hat{ACX}=180^0\) (1)
Ta có: \(\hat{DAE}+\hat{DAB}+\hat{EAC}+\hat{BAC}=360^0\)
=>\(\hat{DAE}+\hat{BAC}=360^0-90^0-90^0=180^0\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\hat{ACX}=\hat{EAD}\)
ΔMAB=ΔMXC
=>AB=XC
mà AB=AD
nên AD=CX
Xét ΔACX và ΔEAD có
AC=EA
\(\hat{ACX}=\hat{EAD}\)
CX=AD
Do đó: ΔACX=ΔEAD
=>AX=ED
mà \(AM=\frac12AX\)
nên \(AM=\frac12ED\)
Xét ΔABX và ΔDAE có
AB=DA
BX=AE
AX=DE
Do đó: ΔABX=ΔDAE
=>\(\hat{XAB}=\hat{EDA}\)
mà \(\hat{XAB}+\hat{DAF}=90^0\)
nên \(\hat{EDA}+\hat{DAF}=90^0\)
=>AF⊥DE tại F
=>AM⊥DE tại F
c: Kẻ DY⊥AH tại Y; EG⊥AH tại G
=>DY//EG//BC
Ta có: \(\hat{BAH}+\hat{BAD}+\hat{DAG}=180^0\)
=>\(\hat{BAH}+\hat{DAG}=90^0\)
mà \(\hat{BAH}+\hat{ABH}=90^0\)
nên \(\hat{DAG}=\hat{ABH}\)
Xét ΔDAY vuông tại Y và ΔABH vuông tại H có
DA=AB
\(\hat{DAY}=\hat{BAH}\)
Do đó: ΔDAY=ΔABH
=>DY=AH
Ta có: \(\hat{EAG}+\hat{EAC}+\hat{HAC}=180^0\)
=>\(\hat{EAG}+\hat{HAC}=180^0-90^0=90^0\)
mà \(\hat{HAC}+\hat{ACH}=90^0\) (ΔAHC vuông tại H)
nên \(\hat{EAG}=\hat{HCA}\)
Xét ΔGAE vuông tại G và ΔHCA vuông tại H có
AE=CA
\(\hat{GAE}=\hat{HCA}\)
Do đó: ΔGAE=ΔHCA
=>GE=HA
mà DY=AH
nên GE=DY
Xét ΔKYD vuông tại Y và ΔKGE vuông tại K có
DY=GE
\(\hat{YDK}=\hat{GEK}\) (hai góc so le trong, EG//DY)
Do đó: ΔKYD=ΔKGE
=>KD=KE
