`4,`
`a,`
Xét `\Delta ABC`:
$\widehat {A} = 90^0$
`-> \text {BC là cạnh huyền}`
Ta có: \(\text{AB = 6 cm, AC = 8 cm}\)
`@` Theo định lý pythagoras (Bình phương cạnh huyền = tổng bình phương 2 cạnh góc vuông)
`->`\(\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2\)
`->`\(\text{BC}^2=6^2+8^2\)
`->`\(\text{BC}^2=100\)
`->`\(\text{BC}^2=10^2\)
`->`\(\text{BC = 10 cm.}\)
`b,`
Ta có: \(\text{BC > AC > AB (10 cm > 8 cm > 6 cm)}\)
`@` Theo định lý quan hệ giữa góc và cạnh đối diện
\(\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}.\)
`c,`
Xét `\Delta AMN`:
$\widehat {A} = 90^0$
`->` $\widehat {ANM} \text { là góc nhọn}$
Ta có: \(\widehat{ANM}+\widehat{MNC}=180^0\left(\text{kề bù}\right)\)
`->` $\widehat {MNC} = 180^0 - \widehat {ANM}$
`->` $\widehat {MNC} \text { là góc tù}$
Xét `\Delta MNC`:
$\widehat {MNC} \text { là góc tù}$
`-> \text {MC > MN (1)}`
Xét `\Delta AMC`:
$\widehat {A} = 90^0$
`->` $\widehat {AMC} \text { là góc nhọn}$
Mà $\widehat {AMC} + \widehat {BMC} = 180^0 (\text {kề bù})$
`->` $\widehat {BMC} \text { là góc nhọn}$
Xét `\Delta BMC`:
$\widehat {BMC} \text { là góc tù}$
`-> \text {BC là cạnh lớn nhất}`
`-> \text {BC > MC (2)}`
Từ `(1)` và `(2)`
`-> \text {BC > MN (đpcm).}`
P/s: câu a, á, nếu như bạn chưa học định lý pytago thì bạn bỏ đi cũng được á, vì cái này không sử dụng thì mình không tính được độ dài của nó nếu như chỉ cho từng này dữ kiện á cậu;-; mk xl nha, tội lỗi quá;-;.
`4, (2)`
`a,`
Vì BE là tia phân giác của $\widehat {ABH}$
`->` $\widehat {ABE} = \widehat {HBE} =$ `60/2=30^0`
Xét `\Delta ABE` và `\Delta HBE`:
`\text {BE chung}`
$\widehat {ABE} = \widehat {HBE} =30^0$
$\widehat {BAE} = \widehat {BHE} (=90^0)$
`=> \Delta ABE = \Delta HBE (ch-gn)`
`b,`
Xét `\Delta ABE`:
$\widehat {BAE} + \widehat {ABE} + \widehat {AEB} = 180^0 (\text {định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác})$
`-> 90^0+30^0+` $\widehat {AEB} = 180^0$
`->` $\widehat {AEB} = 180^0-90^0-30^0=60^0$
Vì `\Delta ABE = \Delta HBE (a)`
`->` $\widehat {AEB} = \widehat {HEB} = 60^0$
Vì `\text {HK // BE}`
`->` $\widehat {BEH} = \widehat {EHK} = 60^0 (\text {2 góc sole trong})$ `(1)`
Ta có: $\widehat {AEH} + \widehat {HEK} = 180^0 (\text {kề bù})$ \((*)\)
Mà $\widehat {AEH} = \widehat {BEA} + \widehat {BEH}$
`->` $\widehat {AEH} = 60^0+60^0$
`->` $\widehat {AEH} = 120^0$ \((**)\)
Thay \((**)\) vào \((*)\)
`->` $ 120^0 + \widehat {HEK} = 180^0$
`->` $\widehat {HEK} = 180^0 - 120^0 = 60^0$ `(2)`
Từ `(1)` và `(2)`
`->` $\widehat {HKE} = 60^0$
Xét `\Delta HEK`:
$\widehat {HEK} = \widehat {HKE} = \widehat {KHE} = 60^0$
`-> \Delta HEK` là `\Delta` đều.
`c,`
Vì `\Delta ABE = \Delta HBE (a)`
`-> \text {AE = HE (2 cạnh tương ứng)}`
`-> \text {AB = HB (2 cạnh tương ứng)}`
Xét `\Delta AEM` và `\Delta HEC`:
`\text {AE = HE}`
$\widehat {AEM} = \widehat {HEC} (\text {2 góc đối đỉnh})$
$\widehat {MAE} = \widehat {CHE} (=90^0)$
`=> \Delta AEM = \Delta HEC (cgv-gn)`
`-> \text { AM = HC (2 cạnh tương ứng)}`
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\text{BN = AB + AM }\\\text{BC = HC + HB}\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB = HB}\\\text{AM = HC}\end{matrix}\right.\)
`=> \text {BM = BC}`
Xét `\Delta BMC`:
`\text {BM = BC}`
`-> \Delta BMC` là cân tại B.
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta\text{BMC là tam giác cân}\\\text{BN là đường phân giác }\end{matrix}\right.\)
`@` Theo tính chất của `\Delta` cân với các đường trong `\Delta`
`-> \text {BN đồng thời là đường trung tuyến}`
`-> \text {NM = NC.}`
