Question

Answer 1

a. Phương trình <=> 4x² + 4y² - 4x - 4y = 32 <=> (4x² - 4x + 1) + (4y² - 4y + 1) = 34 <=> (2x - 1)² + (2y - 1)² = 34

Vì (2x - 1)² \(\ge\) 0 => (2y - 1)² \(\le\) 34 => \(-\sqrt{34}\le\) 2y - 1 \(\le\sqrt{34}\) <=> \(1-\sqrt{34}\le2y\le1+\sqrt{34}\Leftrightarrow\dfrac{1-\sqrt{34}}{2}\le y\le\dfrac{1+\sqrt{34}}{2}\)

Mà y nguyên nên \(y\in\left\{-2;-1;0;1;2;3\right\}.\)

Với \(y=-2,\) ta có:

 \(x^2-x-2=0\Leftrightarrow\left(x^2-2x\right)+\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow x=-1\) (nhận) hoặc \(x=2\) (nhận)

Với \(y=-1,\) ta có:

\(x^2-x-6=0\Leftrightarrow\left(x^2-3x\right)+\left(2x-6\right)=0\Leftrightarrow x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-3\right)=0\Leftrightarrow x=-2\) (nhận) hoặc \(x=3\) (nhận)

Với \(y=0,\) ta có: \(x^2-x-8=0.\) Phương trình này không có nghiệm nguyên.

Với \(y=1,\) ta có: \(x^2-x-8=0.\) Phương trình này không có nghiệm nguyên.

Với \(y=2,\) ta có:

\(x^2-x-6=0\Leftrightarrow\left(x^2-3x\right)+\left(2x-6\right)=0\Leftrightarrow x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-3\right)=0\Leftrightarrow x=-2\) (nhận) hoặc \(x=3\) (nhận)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(\left(x;y\right)=\left(-1;-2\right),\left(2;-2\right),\left(-2;-1\right),\left(3;-1\right),\left(-2;2\right),\left(3;2\right).\)

b. Phương trình <=> (4x² - 4x + 1) + (y² + x² + 4 - 2xy + 4x - 4y) = 5 <=> (2x - 1)² + (y - x - 2)² = 5

Vì (y - x - 2)² \(\ge0\Rightarrow\left(2x-1\right)^2\le5\Leftrightarrow-\sqrt{5}\le2x-1\le\sqrt{5}\Leftrightarrow1-\sqrt{5}\le2x\le1+\sqrt{5}\Leftrightarrow\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\le x\le\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)

Mà x nguyên nên \(x\in\left\{0;1\right\}.\)

Với \(x=0,\) ta có: \(y^2-4y=0\Leftrightarrow y\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow y=0\) (nhận) hoặc \(y=4\) (nhận)

Với \(x=1,\) ta có: 

\(y^2-6y+5=0\Leftrightarrow\left(y^2-5y\right)-\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow y\left(y-5\right)-\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow y=1\) (nhận) hoặc \(y=5\) (nhận)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right),\left(0;4\right),\left(1;1\right),\left(1;5\right).\)

Answer 2

Bổ sung câu a:

Với y = 2, ta có: ...

Với y = 3, ta có: 

\(x^2-x-2=0\Leftrightarrow\left(x^2-2x\right)+\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow x=-1\) (nhận) hoặc \(x=2\) (nhận)

Vậy phương trình có nghiệm là: (x;y) = (-1;-2), (2;-2), (-2;-1), (3;-1), (-2;2), (3;2), (-1;3), (2;3).