Xét n=0 thì P không là snt(loại)
Xét n>0
P=n4+4P=n4+4
P=n4+4n2+4−4n2P=n4+4n2+4−4n2
P=(n2+2)−4n2P=(n2+2)−4n2
P=(n2−2n+2)(n2+2n+2)P=(n2−2n+2)(n2+2n+2)
Mà n2+2n+2>n2−2n+2∀n∈Nn2+2n+2>n2−2n+2∀n∈N*
Để P là snt thì n2−2n+2=1n2−2n+2=1
⇔n=1(tm)⇔n=1(tm)
Thử lại ta thấy tm
Vậy n=1 thì P là snt
\(n^4+4=\left(n^4+4n^2+4\right)-4n^2=\left(n^2+2\right)^2-\left(2n\right)^2=\left(n^2+2+2n\right)\left(n^2+2-2n\right)\)ta có \(n^2+2n+2=\left(n+1\right)^2+1\) > 1 với mọi n số tự nhiên
\(n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1\ge1\) với n số tự nhiên
để \(n^4+4\) là số nguyên tố =>\(n^4+4\) chỉ có 2 ước đó là chính nó và 1
\(\Rightarrow n^2+2n+2=n^4+4\) và \(n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1=1\)
\(\Rightarrow n-1=0\)
\(\Rightarrow n=1\)
vậy\(n=1\) thì \(n^4+4\) là số nguyên tố
