1. - Kẻ KO//BM (O thuộc AC) ; I là giao điểm của BM và AK.
- AM=\(\dfrac{1}{5}AC\) ; AM+MC=AC =>\(MC=\dfrac{4}{5}AC\)
=>\(\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{1}{4}\) =>AM=\(\dfrac{1}{4}MC\) (1)
- BK=\(\dfrac{1}{3}BC\) ; BK+KC=BC =>\(KC=\dfrac{2}{3}BC\)
=>\(\dfrac{BK}{KC}=\dfrac{1}{2}\)
- Xét tam giác BMC có:
KO//BM (gt)
=>\(\dfrac{BK}{KC}=\dfrac{MO}{OC}=\dfrac{1}{2}\) (định lí Ta-let)
\(\dfrac{BC}{KC}=\dfrac{MC}{OC}=\dfrac{3}{2}\) (định lí Ta-let)
=>MO=\(\dfrac{1}{2}OC\) (2)
- Từ (1) và (2) suy ra: \(\dfrac{AM}{MO}=\dfrac{\dfrac{1}{4}MC}{\dfrac{1}{2}OC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}\)
- Xét tam giác AOK có:
IM//OK (gt)
=>\(\dfrac{AM}{MO}=\dfrac{AI}{IK}=\dfrac{3}{4}\) (định lí Ta-let).
- Vậy đoạn thẳng BM chia đoạn thẳng AK theo tỉ số \(\dfrac{3}{4}\)
2. *EF cắt AK,CL lần lượt tại D,H. PF cắt AK tại I ; PE cắt CL tại O. G là giao điểm của AK và CL.
- Xét tam giác ABC có:
AK là trung tuyến (gt)
CL là trung tuyến (gt)
G là giao điểm của AK và CL (gt)
=> G là trọng tâm của tam giác ABC.
=> GL=\(\dfrac{1}{3}CL\) (tính chất trọng tâm)
GK=\(\dfrac{1}{3}AK\) (tính chất trọng tâm)
- Xét tam giác AGL có:
FI//LG (gt).
=>\(\dfrac{FI}{LG}=\dfrac{AF}{AL}\) (định lí Ta-let) (1)
- Xét tam giác ACL có:
FP//CL (gt)
=>\(\dfrac{FP}{CL}=\dfrac{AF}{AL}\) (định lí Ta-let) (2)
- Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{FI}{LG}=\dfrac{FP}{CL}\)
=>\(\dfrac{FI}{FP}=\dfrac{LG}{CL}=\dfrac{1}{3}\)
- Xét tam giác PFE có:
ID//PE (gt)
=>\(\dfrac{FI}{FP}=\dfrac{FD}{EF}=\dfrac{1}{3}\) (định lí Ta-let)
=>FD=\(\dfrac{1}{3}EF\)
- Xét tam giác CGK có:
OE//GK (gt)
=>\(\dfrac{OE}{GK}=\dfrac{CE}{CK}\) (định lí Ta-let) (3)
- Xét tam giác CKA có:
PE//AK (gt)
=>\(\dfrac{PE}{AK}=\dfrac{CE}{CK}\) (định lí Ta-let) (4)
- Từ (3) và (4) suy ra: \(\dfrac{OE}{GK}=\dfrac{PE}{AK}\)
=>\(\dfrac{OE}{PE}=\dfrac{GK}{AK}=\dfrac{1}{3}\)
- Xét tam giác FPE có:
OH//PF (gt)
=>\(\dfrac{OE}{PE}=\dfrac{HE}{EF}=\dfrac{1}{3}\) (định lí Ta-let)
=> HE=\(\dfrac{1}{3}EF\) mà FD=\(\dfrac{1}{3}EF\) ; FD+DH+HE=EF
=>\(FD=DH=HE=\dfrac{1}{3}EF\)
- Vậy các trung tuyến AK và CL chia đoạn thẳng EF thành 3 phần bằng nhau.
