a) Xét tam giác ABC cân tại A có:
AM là đường trung tuyến (do M là trung điểm của BC).
=> AM là đường cao (Tính chất các đường trong tam giác cân). => AM \(\perp\) BC.
Xét tứ giác AMCN có:
+ O là trung điểm của AC (gt).
+ O là trung điểm của AC (OM = ON).
=> Tứ giác AMCN là hình bình hành (dhnb).
Mà ^AMC = 90o (AM \(\perp\) BC).
=> Tứ giác AMCN là hình chữ nhật (dhnb).
b) Tứ giác AMCN là hình chữ nhật (cmt).
=> AN // MC và AN = MC (Tính chất hình chữ nhật).
Mà BM = MC (do M là trung điểm của BC).
=> AN = BM (= MC).
Xét tứ giác ANMB có:
+ AN = BM (cmt).
+ AN // BM (do AN // MC).
=> Tứ giác ANMB là hình bình hành (dhnb).
c) Tứ giác AMCN là hình vuông (gt).
=> AM = MC (Tính chất hình vuông).
Mà MC = \(\dfrac{1}{2}\) BC (M là trung điểm của BC).
=> AM = \(\dfrac{1}{2}\) BC.
Xét tam giác ABC cân tại A có:
+ AM = \(\dfrac{1}{2}\) BC (cmt).
+ M là trung điểm của BC (gt).
=> Tam giác ABC vuông cân tại A.
Vậy tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMCN là hình vuông.
