1) \(f\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left(m-2\right)x^2+2\left(m-2\right)x+4m-1=0\)
Để f(x) có hai nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow ac< 0\) \(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(4m-1\right)< 0\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}< m< 2\)
2) TXĐ: D=R
Để \(f\left(x\right)>0\) trên TXĐ hay \(f\left(x\right)=\left(m-2\right)x^2+2\left(m-2\right)x+4m-1>0\) (1) với mọi x
TH1: Xét m=2. Thay m=2 vào (1) ta được: \(7>0\) (lđ)
=> m=2 là một giá trị để f(x) >0 (*)
TH2: Xét \(m\ne2\). Để \(f\left(x\right)>0\) với mọi x \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta< 0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2>0\\-3m^2+5m+2< 0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>2\\m\in\left(-\infty;-\dfrac{1}{3}\right)\cup\left(2;+\infty\right)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m>2\) (2*)
Từ (*) (2*)\(\Rightarrow m\ge2\)
Vậy \(m\ge2\) thì f(x)>0 trên TXĐ
3)Để \(f\left(x\right)\ge0\) vô nghiệm trên TXĐ hay \(f\left(x\right)\ge0\) với mọi x
TH1: Xét m=2 .Bpt \(\Leftrightarrow7\ge0\) (lđ)
=> m=2 làm bất phương trình có nghiệm
=> m=2 ko thỏa mãn yêu cầu bài toán (I)
TH2: \(m\ne2\) .\(f\left(x\right)\ge0\) vô nghiệm\(\Leftrightarrow f\left(x\right)< 0;\forall x\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a< 0\\\Delta< 0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\m\in R\backslash\left[-\dfrac{1}{3};2\right]\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m< -\dfrac{1}{3}\) (II)
Từ (I) và (II)\(\Rightarrow m< -\dfrac{1}{3}\)
Vậy \(m< -\dfrac{1}{3}\) thì \(f\left(x\right)\ge0\) vô nghiệm trên TXĐ
