a) \(\left(3x+2\right)\left(2x-7\right)-\left(2x-9\right)\left(3x+5\right)\)

\(=6x^2-17x-14-\left(6x^2-17x-45\right)=31\)

b) \(\left(1-2x\right)\left(4x^2+2x+1\right)+2\left(4x^3-1\right)\)

\(-8x^3+1+8x^3-2=-1\)

c) \(\left(x+1\right)^3-\left(x-1\right)^3-6\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

\(=x^3+3x^2+3x+1-\left(x^3-3x^2+3x-1\right)-6\left(x^2-1\right)=8\)

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại A có M là trung điểm BC nên \(AM=MB=MC\)

Ta có: \(\widehat{AMB}=\widehat{MAC}+\widehat{MCA}=2.\widehat{ACB}\) (\(\Delta MAC\) cân tại M)

\(\Rightarrow\sin\widehat{AMB}=\sin2.\widehat{ACB}=2.\sin\widehat{ACB}.\cos\widehat{ACB}\)

\(f\left(x\right)=\dfrac{2x+m}{x+1}\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{2\left(x+1\right)-2x-m}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{2-m}{\left(x+1\right)^2}\)

Xét \(m< 2\Rightarrow f'\left(x\right)>0\forall x\in\left[0,2\right]\)

bbt: 

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min\left[0,2\right]}+f\left(x\right)_{max\left[0,2\right]}=f\left(0\right)+f\left(2\right)=m+\dfrac{m+4}{3}=8\Rightarrow m=5\) (thỏa)

Xét \(m>2\Rightarrow f'\left(x\right)< 0\forall x\in\left[0,2\right]\)

bbt:

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min\left[0,2\right]}+f\left(x\right)_{max\left[0,2\right]}=f\left(0\right)+f\left(2\right)=m+\dfrac{m+4}{3}=8\Rightarrow m=5\) (loại)

Vậy chỉ có giá trị \(m=5\) thỏa đề

a) PTHH: \(2Fe+3Cl_2\rightarrow2FeCl_3\)

b) \(n_{Fe}=\dfrac{11,2}{56}=0,2\) (mol)

Theo PTHH \(\Rightarrow n_{Cl_2}=\dfrac{3}{2}.n_{Fe}=\dfrac{3}{2}.0,2=0,3\) (mol) 

\(\Rightarrow m_{Cl_2}=0,3.71=21,3\left(g\right)\)

c) PTHH: \(Fe+2HCl\rightarrow FeCl_2+H_2\)

Theo PTHH thì \(n_{HCl}=2.n_{Fe}=2.0,2=0,4\) (mol) 

\(\Rightarrow V_{HCl}=\dfrac{0,4}{2}=0,2\left(l\right)=200ml\)

a) PTHH: \(KOH+HNO_3\rightarrow KNO_3+H_2O\)

b) \(n_{HNO_3}=0,2.1=0,2\) (mol)

Theo PTHH thì \(n_{KOH}=n_{HNO_3}=0,2\Rightarrow m_{KOH}=0,2.56=11,2\left(g\right)\)

c) \(m_{ddKOH}=\dfrac{11,2}{20\%}=56\left(g\right)\)

\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2-mx+1}{x-m}\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{\left(2x-m\right)\left(x-m\right)-x^2+mx-1}{\left(x-m\right)^2}=\dfrac{x^2-2mx+m^2-1}{\left(x-m\right)^2}\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow\left(x-m\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=m+1\\x=m-1\end{matrix}\right.\)

bbt:

Giá trị lớn nhất của \(f\left(x\right)\) trên \(\left(-\infty,0\right)\) là \(f\left(-1\right)\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}m-1=-1\\m\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=0\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{x^2+1}{x}\)

bbt:

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{max\left[\dfrac{5}{2},5\right]}+f\left(x\right)_{min\left[\dfrac{5}{2},5\right]}=f\left(\dfrac{5}{2}\right)+f\left(5\right)=\dfrac{29}{10}+\dfrac{26}{5}=\dfrac{81}{10}\)

\(y=f\left(x\right)=x^3-3mx^2+3\left(m^2-1\right)x+2024\)

\(f'\left(x\right)=3x^2-6mx+3\left(m^2-1\right)=3.\left(x^2-2mx+m^2-1\right)\)

\(=3\left(x-\left(m+1\right)\right)\left(x-\left(m-1\right)\right)\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=m+1\\x=m-1\end{matrix}\right.\)

bbt:

Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên \(\left(0,+\infty\right)\) thì \(m+1>0\Rightarrow m>-1\) và \(f\left(0\right)\ge f\left(m+1\right)\)

\(\Rightarrow2024>m^3-3m-2+2024\Rightarrow m^3-3m-2< 0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le2\\m\ne-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-1< m\le2\Rightarrow m\in\left\{0,1,2\right\}\)

Đặt \(f\left(x\right)=x^3-3x+m\)

\(f'\left(x\right)=3x^2-3\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

bbt:

bbt của \(y=\left|f\left(x\right)\right|\) là bbt của \(f\left(x\right)\) giữ nguyên phần nằm trên trục hoành và lấy đối xứng phần nằm dưới trục hoành qua trục hoành

Xét \(m-2\ge0\Rightarrow m\ge2\)

Theo bbt \(\Rightarrow y_{min\left[0,2\right]}+y_{max\left[0,2\right]}=y\left(1\right)+y\left(2\right)=m-2+m+2=2m\)

\(\Rightarrow2m=3\Rightarrow m=\dfrac{3}{2}\) (loại)

Xét \(m+2\le0\Rightarrow m\le-2\)

\(\Rightarrow y_{max\left[0,2\right]}+y_{min\left[0,2\right]}=y\left(2\right)+y\left(1\right)=-2-m+2-m=-2m\)

\(\Rightarrow-2m=3\Rightarrow m=-\dfrac{3}{2}\) (loại)

Xét \(-2< m< 2\) thì \(y_{min\left[0,2\right]}=0\) còn \(y_{max\left[0,2\right]}=y\left(1\right)\) hoặc \(y\left(2\right)\)

\(TH_1:y\left(1\right)\) là max thì \(2-m+0=3\Rightarrow m=-1\Rightarrow y\left(2\right)=m+2=1< y\left(1\right)\) (thỏa)

\(TH_2:y\left(2\right)\) là max thì \(m+2+0=3\Rightarrow m=1\Rightarrow f\left(1\right)=2-m=1< f\left(2\right)\) (thỏa)

Trong trường hợp này thì bbt của \(y=\left|f\left(x\right)\right|\) sẽ theo 2 dạng như này:

Vậy có 2 giá trị nguyên \(m\in\left\{-1,1\right\}\) thỏa đề 

Đặt \(f\left(x\right)=x^2-2x+m^2+2m+2\)

\(f'\left(x\right)=2x-2\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow x=1\)

bbt của \(f\left(x\right)\) là

bbt của hàm số \(y=\left|f\left(x\right)\right|\) sẽ là bbt của \(f\left(x\right)\) giữ nguyên phần nằm trên trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị nằm dưới trục hoành

Vì \(f\left(1\right)=m^2+2m+1=\left(m+1\right)^2\ge0\) nên bbt của \(y=\left|f\left(x\right)\right|\) cũng giống với bbt của \(y=f\left(x\right)\)

Dựa và bbt thì \(y_{max\left[-1,2\right]}=y\left(-1\right)=m^2+2m+5\Rightarrow m^2+2m+5=2\)

\(\Rightarrow\) không có m thỏa đề 

ĐKXĐ: \(x+m\ne0\Rightarrow-m\ne\left(1,+\infty\right)\Rightarrow-m\le1\Rightarrow m\ge-1\)

\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+mx+1}{x+m}\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{\left(2x+m\right)\left(x+m\right)-x^2-mx-1}{\left(x+m\right)^2}=\dfrac{x^2+2mx+m^2-1}{\left(x+m\right)^2}\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow\left(x+m\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-m+1\\x=-m-1\end{matrix}\right.\)

bbt:

Để f(x) có giá trị nhỏ nhất trên \(\left(1,+\infty\right)\) thì \(-m+1>1\)

\(\Rightarrow-m>0\Rightarrow m< 0\Rightarrow-1\le m< 0\)

Vậy có một giá trị nguyên \(m=-1\) thỏa đề