a) Tứ giác PDKI nọi tiếp đườngtròn đường kính PK.

b) Ta có \(\Delta CIK\sim\Delta CDP(g.g)\) nên \(CI.CP=CK.CD\).

c) Giả sử Q nằm trên cung nhỏ AB.

Khi đó Q là điểm chính giữa của cung nhỏ AB nên IQ là phân giác của góc AIB. Lại có IC vuông góc với IQ nên IC là phân giác ngoài của tam giác IAB.

b) Theo phương tích ta có CP . CI = CA . CB.

Lại có CK . CD = CI . CP nên CK . CD = CA . CB.

Mà C, A, B cố định và D là trung điểm của AB \(\Rightarrow\) D cố định nên K cũng cố định.

Vậy QI đi qua K cố định.

Số đó là 3789

a) Do \(x\in\mathbb{Z}\) nên \(A\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow x+5\vdots x-4\Leftrightarrow 9\vdots x-4\Leftrightarrow\)\(x\in\left\{5;3;7;1;13;-5\right\}\)

\(PT\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=6x^2+11x+10\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)\sqrt{x^2+1}=x^3+6x^2+13x+10\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+1}\right)^3+\sqrt{x^2+1}=\left(x+2\right)^3+\left(x+2\right)\) (*)

Ta thấy nếu a > b thì \(a^3>b^3\Rightarrow a^3+a>b^3+b\)

Do đó \(\left(\cdot\right)\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=x+2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\x^2+1=x^2+4x+4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\x=-\dfrac{3}{4}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy...

Câu 5: Ta có \(\dfrac{5}{a}-\dfrac{b}{3}=\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow\dfrac{15-ab}{3a}=\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow2\left(15-ab\right)=a\).

Do đó a chia hết cho 2. Mà a là số nguyên tố nên a = 2. Suy ra 15 - ab = 1 nên ab = 14. Mà a = 2 nên b = 7 (thoả mãn)

Phương trình hoành độ giao điểm của (2) và (3) là \(3x-2=x+1\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\).

Khi đó \(y=\dfrac{5}{2}\) nên giao điểm của (2) và (3) là \(A\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}\right)\).

Để A thuộc đường thẳng (1) thì \(2m.\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\).

Vậy...

Mỗi giờ A và B cùng làm hoàn thành được \(\dfrac{1}{3}\) công việc, B và C cùng làm hoàn thành được \(\dfrac{1}{4}\) công việc, C và A cùng làm hoàn thành được \(\dfrac{1}{1,5}=\dfrac{2}{3}\) công việc.

Do đó cả ba người cùng làm mỗi giờ được \(\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\right):2=\dfrac{5}{8}\) (công việc)

Cả ba người cùng làm thì mất \(\dfrac{8}{5}\)h để hoàn thành công việc, tương đương với 96 phút.

\(P=\left[\left(\dfrac{-1}{3}\right)^2x^3+\left(2x^2\right)^2+\dfrac{1}{2}\right]-\left[x\left(\dfrac{1}{3}x\right)^2+\dfrac{3}{2^3}+x^4\right]+\left(y-2013\right)^2=\left(\dfrac{1}{9}x^3+4x^4+\dfrac{1}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{9}x^3+x^4+\dfrac{3}{8}\right)+\left(y-2013\right)^2=3x^4+\dfrac{1}{8}+\left(y-2013\right)^2\ge\dfrac{1}{8}\).

Dấu "=" xảy ra khi x = 0; y = 2013.

a) ĐKXĐ: \(x\neq\frac{-1}{2}\). 

\(\dfrac{4x-3}{2x+1}\ge3\Leftrightarrow3-\dfrac{4x-3}{2x+1}\le0\Leftrightarrow\dfrac{2x+6}{2x+1}\le0\Leftrightarrow-6\le2x< -1\Leftrightarrow-3\le x< -\dfrac{1}{2}\) (TM)