Question

cho x,y,z \(\ge\) 0 và x+y+z=\(\dfrac{3}{2}\) chứng minh x+2xy+4xyz\(\le\) 2

 

 

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x+2xy+4xyz=x+2xy(1+2z)=x+x.2y(1+2z)\leq x+x.\left(\frac{2y+1+2z}{2}\right)^2\)

\(x+x.\left(\frac{3+1-2x}{2}\right)^2=x+x(2-x)^2\)

Bài toán sẽ đc cm nếu ta chỉ ra:

 \(x+x(2-x)^2\leq 2\Leftrightarrow x+x(x^2-4x+4)\leq 2\)

\(\Leftrightarrow (x-2)(x-1)^2\leq 0\)

Điều này luôn đúng do \(x\leq \frac{3}{2}< 2; (x-1)^2\geq 0\)

Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,\frac{1}{2},0)$