Đặt \(P=\dfrac{2x^2+x}{\left(x+1\right)^2}\Rightarrow P+\dfrac{1}{4}=\dfrac{9x^2+6x+1}{4\left(x+1\right)^2}=\dfrac{\left(3x+1\right)^2}{4\left(x+1\right)^2}\ge0\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=-\dfrac{1}{3}\).

Vậy..

The first 100 positive even numbers are 2; 4; 6;...; 200. Their sum is \(\dfrac{\left(200+2\right).100}{2}=10100\).

The first 100 positive odd numbers are 1; 3; 5;...; 199. Their sum is \(\dfrac{\left(199+1\right).100}{2}=10000\)

 The difference between two sums is \(10100-10000=100\)

a) Ta có \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\) nên tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn đường kính AH.

b) Tứ giác AMHN nội tiếp nên \(\widehat{AMN}=\widehat{AHN}=\widehat{ACB}\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ACB\left(g.g\right)\)

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IA = IB = IC.

Do đó tam giác ABC vuông tại A.

Lại có \(IO_1\perp AB;IO_2\perp AC\) nên tam giác \(IO_1O_2\) vuông tại I.

b) Đầu tiên ta chứng minh kết quả sau: Cho hai đường tròn (D; R), (E; r) tiếp xúc với nhau tại A. Tiếp tuyến chung BC (B thuộc (D), C thuộc (E)). Khi đó \(BC=2\sqrt{Rr}\).

Thật vậy, kẻ EH vuông góc với BD tại H. Ta có \(DH=\left|R-r\right|;DE=R+r\) nên \(BC=EH=\sqrt{DE^2-DH^2}=2\sqrt{Rr}\).

Trở lại bài toán: Giả sử (O; R) tiếp xúc với BC tại M.

Theo kết quả trên ta có \(BM=2\sqrt{R_1R};CM=2\sqrt{RR_2};BC=2\sqrt{R_1R_2}\).

Do \(BM+CM=BC\Rightarrow\sqrt{R_1R}+\sqrt{R_2R}=\sqrt{R_1R_2}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{R}}=\dfrac{1}{\sqrt{R_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{R_2}}\).

P/s: Hình như bạn nhầm đề

ĐKXĐ: \(x\geq -5\).

\(PT\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2=\left(\sqrt{x+5}+\dfrac{1}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{3}{2}=\sqrt{x+5}+\dfrac{1}{2}\left(1\right)\\\dfrac{3}{2}-x=\sqrt{x+5}+\dfrac{1}{2}\left(2\right)\end{matrix}\right.\).

+) \(\left(1\right)\Leftrightarrow x-2=\sqrt{x+5}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x^2-4x+4=x+5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2}\).

+) \(\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{x+5}=1-x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le1\\x+5=x^2-2x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-1\).

Do đó hai nghiệm của pt này có tổng bằng \(\dfrac{3+\sqrt{29}}{2}\). Chọn A

+) 

Ta có ac < 0 nên pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

+) Nếu \(x_1< 0\Rightarrow x_1-\left|x_2\right|< 0\) (vô lí)

Do đó \(x_1>0\) nên \(x_2< 0\).

Theo hệ thức Viét ta có \(x_1+x_2=m-4\).

Ta có \(x_1-\left|x_2\right|=10\Leftrightarrow x_1+x_2=10\Leftrightarrow m-4=10\Leftrightarrow m=14\)

Xét điểm \(A\left(-1;1\right)\). Dễ thấy A thuộc (d). Gọi H là hình chiếu của O trên (d). Ta có \(OH\le OA=\sqrt{2}\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(H\equiv A\), tức là \(d\perp OA\).

Ta cần tìm m sao cho \(d\perp OA\). Phương trình đường thẳng đi qua O, A là
y = -x. Xét m = 4 thì đường thẳng (d) trở thành \(y=1\), đường thẳng này song song với trục hoành và không vuông góc với d. Xét m khác 4. Khi đó \(\left(m-4\right)x+\left(m-3\right)y=1\Leftrightarrow y=\dfrac{4-m}{m-3}x+\dfrac{1}{m-3}\). Để \(d\perp OA\) thì \(\dfrac{4-m}{m-3}.\left(-1\right)=-1\Leftrightarrow4-m=m-3\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2}\).

Vậy Max \(OH=\sqrt{2}\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2}\).

\(P-8=\dfrac{x^2-6x+9}{x-1}=\dfrac{\left(x-3\right)^2}{x-1}\ge0\) (Do x > 1 và \(\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\in R\)).

Do đó \(P\ge8\). Dấu "=" xảy ra khi x = 3.