ĐKXĐ: x > 0

PT \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x\left(x+1\right)^2}=\dfrac{4\left(1+\sqrt{1+4x}\right)}{x+\sqrt{x^2+3x+2}+1}\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+3x+2}+1=4x\left(x+1\right)^2\left(1+\sqrt{1+4x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow x=-1\left(\text{loại}\right)\\\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=4x\left(x+1\right)\sqrt{x+1}\left(1+\sqrt{1+4x}\right)\left(1\right)\end{matrix}\right.\).

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=\left(4x^2+4x\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{\left(x+1\right)\left(4x+1\right)}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+4x-1\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{\left(x+1\right)\left(4x+1\right)}\right)=\sqrt{x+2}-\sqrt{\left(x+1\right)\left(4x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+4x-1\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{\left(x+1\right)\left(4x+1\right)}\right)=\dfrac{-\left(4x^2+4x-1\right)}{\sqrt{x+2}+\sqrt{\left(x+1\right)\left(4x+1\right)}}\Leftrightarrow4x^2+4x-1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\left(TM\right)\\x=\dfrac{-\sqrt{2}-1}{2}\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\).

Vậy...

Ta có \(-2< -\dfrac{4}{3}< -1\) nên \(\left[-\dfrac{4}{3}\right]=-2\).

\(0< \dfrac{1}{2}< 1\) nên \(\left[\dfrac{1}{2}\right]=0\).

Ta có \(2P=4042ca-2ab-2bc=\left(\sqrt{2021}a+\sqrt{2021}c-\dfrac{1}{\sqrt{2021}}b\right)^2-\left(2021a^2+2021c^2+\dfrac{1}{2021}b^2\right)\ge-\left(2021a^2+2021c^2+\dfrac{1}{2021}b^2\right)\).

Lại có \(2021a^2+2021c^2+\dfrac{1}{2021}b^2\le2021\left(a^2+c^2+b^2\right)=4042\).

Do đó \(2P\ge-4042\Rightarrow P\ge-2021\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi b = 0; \(a=-c=\pm1\).

a) Ta có A, E, F, K, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

b) Ta có \(\widehat{AMN}=90^o-\widehat{OAB}=90^o-\dfrac{180^o-\widehat{AOB}}{2}=\dfrac{\widehat{AOB}}{2}=\widehat{ACB}\).

Suy ra tứ giác BMNC nội tiếp và \(\Delta SMB\sim\Delta SCN\left(g.g\right)\) nên \(SM.SN=SB.SC\).

c) Ta có \(\widehat{QCB}=\widehat{QAB}=\widehat{HCB};\widehat{QBC}=\widehat{HBC}\) nên Q, H đối xứng với nhau qua BC.

Mà S thuộc BC nên SH = SQ.

Ta lại có \(\widehat{SHB}=\widehat{BHF}-\widehat{MHF}=\widehat{BAC}-\left(90^o-\widehat{AMH}\right)=\widehat{BAC}+\widehat{ACB}-90^o=90^o-\widehat{ABC}=\widehat{SCH}\Rightarrow\Delta SHB\sim\Delta SCH\left(g.g\right)\Rightarrow SQ^2=SH^2=SB.SC\).

d) I là điểm nào vậy bạn?

Biểu thức này không có GTLN vì nếu cho x > 1 và \(x\rightarrow1\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\rightarrow\infty\).

Gọi số truyện của Bình là x.

Ta có \(x=\dfrac{46+38+x}{3}-4\) nên \(x=\dfrac{84+x}{3}-4=28+\dfrac{x}{3}-4=24+\dfrac{x}{3}\).

Suy ra \(\dfrac{2}{3}x=24\). \(x=36\)