§1. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Câu hỏi trắc nghiệm

Chủ đề: §1. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Câu 2.

Cho hàm số $y=(m^{2}-1)\frac{x^{3}}{3}+(m+1)x^{2}+3x+4$ . Tìm m để hàm số đồng biến trên R.

  1. $m \leq -1$ hoặc  $m\geq  2$
  2. $m\leq -1$
  3. $m\leq 2$
  4. $m \geq  2$

Hướng dẫn giải:

\(y'=\left(m^2-1\right)x^2+2\left(m+1\right)x+3\)

a) Xét \(m^2-1=0\) hay \(m=1\) hoặc \(m=-1\)

- Với \(m=1\) thì \(y'=4x+3\). Ta có \(y'\ge0\) khi \(x\ge-\frac{3}{4}\) và \(y'< 0\) khi \(x< -\frac{3}{4}\). Tức là hàm số đồng biến trên [-3/4; \(+\infty\)) và nghịc biến trên (\(-\infty\);-3/4). Vậy với m = 1 không thỏa mãn

Với \(m=-1\) thì \(y'=3\). Ta có \(y'\ge0\) với mọi x nên hàm số luôn đồng biến trên tập số thực R. Vậy với m = -1 thỏa mãn.

b) Xét \(m\ne\pm1\)

Hàm số đồng biến trên R thì \(y'\ge0\) với mọi x. 

y' là tam thức bậc 2, để \(y'\ge0\) với mọi x thì điều kiện là: hệ số a > 0 và \(\Delta\le0\), hay là:

   \(\begin{cases}m^2-1>0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-3\left(m^2-1\right)\le0\end{cases}\)

<=> \(\begin{cases}m< -1;m>1\\-m^2+m+2\le0\end{cases}\)

<=> \(\begin{cases}m< -1;m>1\\\left(m-2\right)\left(m+1\right)\ge0\end{cases}\)

<=> \(\begin{cases}m< -1;m>1\\m\le-1;m\ge2\end{cases}\)

Biểu diễn các điều kiện trên trục số ta rút ra được \(m\in\left(-\infty;-1\right)\cup\)[2;+\(\infty\))

> -1 1 2 ) ( [

Kết hợp với trường hợp b, ta kết luận: \(m\in\) (\(-\infty\); -1] \(\cup\) [2; +\(\infty\)).

 

Câu 6.

Tìm x để \(x^3-4x+3>0\) ?

  1. \(x\in\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\infty\right)\)
  2. \(x>1\)
  3. \(x\in\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};1\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\infty\right)\)
  4. \(x\in\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)\)

Hướng dẫn giải:

Đa thức vế trái có tổng các hệ số bằng 0 nên dễ thấy nó có nghiệm x = 1. Ta chia đa thức vế trái cho x - 1 để phân tích nó thành dạng \(\left(x-1\right)\left(ax^2+bx+c\right)\).

     x^3 - 4x + 3 x - 1 x^2 + x - 3 x^3 - x^2 x^2 - 4x x^2 - x -3x + 3 -3x + 3 0

Vậy \(x^3-4x+3=\left(x-1\right)\left(x^2+x-3\right)\)

Ta xét tiếp tam thức bậc hai \(x^2+x-3\) có hai nghiệm là \(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\) . Suy ra

    \(x^2+x-3=\left(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)\left(x-\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right)\)

\(\Rightarrow x^3-4x+3=\left(x-1\right)\left(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)\left(x-\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right)\)

Ba nghiệm của đa thức sắp xếp từ bé đến lớn là: \(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};1;\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\)

Vậy đa thức có dấu âm trong khoảng \(\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right)\) (vì cả ba thừa số đều âm); dương trong khoàng \(\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};1\right)\); âm trong khoảng \(\left(1;\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)\) , dương trong khoảng \(\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\infty\right)\)

Vậy để đa thức dương thì \(x\in\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};1\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\infty\right)\)

Câu 9.

Cho hàm số \(y=a\sin x+b\cos x+x\). Hệ thức liên quan giữa a và b để hàm số luôn luôn đồng biến trên R là :

  1. \(\begin{cases}a^2+b^2< 1\\a>1\end{cases}\)
  2. \(0\le a^2+b^2\le1\)
  3. \(\begin{cases}a^2+b^2>1\\a< 1\end{cases}\)
  4. \(\begin{cases}a^2+b^2\ge1\\a>1\end{cases}\)

Hướng dẫn giải:

 Xét 2 trường hợp sau:

- TH1 a = b = 0, khi đó y = x là hàm luôn đồng biến.

- TH2: \(a\ne0\) hoặc \(b\ne0\)

  \(y'=a\cos x-b\sin x+1\)

      \(=\left[\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\right]\sqrt{a^2+b^2}\)

      \(=\left[\cos\phi.\cos x-\sin\phi.\sin x+\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\right]\sqrt{a^2+b^2}\)

         (với góc \(\phi\) thỏa mãn \(\cos\phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin\phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\))

       \(=\left[\cos\left(x+\phi\right)+\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\right]\sqrt{a^2+b^2}\)

Để hàm số đồng biến với mọi x thì \(y'\ge0\)  với mọi x, hay là:

   \(\cos\left(x+\phi\right)+\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\ge0\) với mọi x

   \(\Leftrightarrow\cos\left(x+\phi\right)\ge\frac{-1}{\sqrt{a^2+b^2}}\) với mọi x

   \(\Leftrightarrow-1\ge\frac{-1}{\sqrt{a^2+b^2}}\) (vì \(\cos\left(x+\phi\right)\in\left[-1;1\right]\))

   \(\Leftrightarrow1\le\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

   \(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}\le1\)

   \(\Leftrightarrow a^2+b^2\le1\), đối chiếu với trường hợp đang xét ta có: \(0\ne a^2+b^2\le1\)

Tổng hợp cả hai trường hợp ta có: \(0\le a^2+b^2\le1\) 

 

Câu 10.

Để hàm số \(y=\left(m-3\right)x-\left(2m+1\right)\cos x\) nghịch biến trên tập xác định, giá trị thích hợp của m là :

  1. \(m< 3\)
  2. \(\frac{2}{3}< m< 3\)
  3. \(m< -4\) hoặc \(m>3\)
  4. \(-4\le m\le\frac{2}{3}\)

Hướng dẫn giải:

Tập xác định của y là \(\mathbb{R}\).

  \(y'=m-3+\left(2m+1\right)\sin x\)

- Xét trường hợp 2m + 1 = 0, hay \(m=-\frac{1}{2}\), khi đó \(y=-\frac{7}{2}x\) là hàm giảm trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn yêu cầu bài toán.

- Xét trường hợp 2m + 1 > 0, hay \(m>-\frac{1}{2}\), để hàm số giảm trên \(\mathbb{R}\) thì \(y'\le0\) với mọi x, điều kiện là:

    \(m-3+\left(2m+1\right)\sin x\le0\) với mọi x

  \(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)\sin x\le3-m\) với mọi x

   \(\Leftrightarrow\sin x\le\frac{3-m}{2m+1}\)  với mọi x (vì đang xét 2m+1>0)

  \(\Leftrightarrow1\le\frac{3-m}{2m+1}\) (vì \(\sin x\le1\))

  \(\Leftrightarrow2m+1\le3-m\) 

  \(\Leftrightarrow m\le\frac{2}{3}\)

  Kết hợp với điệu kiện đang xét ta có: \(-\frac{1}{2}< m\le\frac{2}{3}\)

- Xét trường hợp 2m + 1 < 0, hay \(m< -\frac{1}{2}\), tương tự trên, để \(y'\le0\) với mọi x thì:

   \(m-3+\left(2m+1\right)\sin x\le0\) với mọi x

  \(\Leftrightarrow\sin x\ge\frac{3-m}{2m+1}\) với mọi x (chú ý ta đang xét 2m+1 <0)

 \(\Leftrightarrow-1\ge\frac{3-m}{2m+1}\) (do \(\sin x\ge-1\))

  \(\Leftrightarrow-\left(2m+1\right)\le3-m\)

   \(\Leftrightarrow m\ge-4\)

 Kết hợp với trường hợp đang xét ta có: \(-4\le m< -\frac{1}{2}\)

Tổng hợp ba trường hợp ta có: \(-4\le m\le\frac{2}{3}\)

Câu 22.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y=\frac{\tan x-2}{m\tan x-2}\) đồng biến trên khoảng \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) ?

  1. \(m\le-1\)
  2. \(-1\le m\le2\)
  3. \(1< m< 2\)
  4. \(1< m\le2\)

Hướng dẫn giải:

 \(y'=\frac{\left(m\tan x-2\right)\frac{1}{\cos^2x}-\left(\tan x-2\right).m.\frac{1}{\cos^2x}}{\left(m\tan x-2\right)^2}\)

     \(=\frac{2\left(m-1\right)}{\cos^2x\left(m\tan x-2\right)^2}\)

    Để hàm số đồng biến trên \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) thì ta có hai điều kiện sau:

  - Hàm số xác định trên \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\)

  - \(y'>0\) với mọi \(x\in\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\)

Để hàm số xác đinh trên \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) ta xét 2 trường hợp:

   TH1: m = 0, \(y=-\frac{1}{2}\left(\tan x-2\right)\) là hàm nghịch biến trên \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\), vậy m = 0 không thỏa mãn

   TH2: \(m\ne0\), khi đó: \(y=\frac{\tan x-2}{m\left(\tan x-\frac{2}{m}\right)}\), để hàm xác định với mọi \(x\in\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) thì \(\frac{2}{m}\notin\left(0;1\right)\) vì \(\tan x\in\left(0;1\right),x\in\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) \(\) \(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m< 0\\0< m\le2\end{array}\right.\) (vì đang xét \(m\ne0\)). Kết hợp với điều kiện \(y'>0\) (tức là \(m>1\)) ta có: \(1< m\le2\).

Vậy điều kiện để hàm số đồng biến trên \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) là \(1< m\le2\).

Click để xem thêm, còn nhiều lắm!
Nội dung này yêu cầu tài khoản VIP, hôm nay bạn còn 5 lượt làm bài miễn phí cho môn Toán. Nâng cấp lên tài khoản VIP chỉ với 30.000 đ!

Tính năng này đang được xây dựng...