Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm A(3;-2) tới đường tròn \(\left(C\right):x^2+y^2-4x-2y=0\).
\(2x+y+8=0;x-2y-1=0\) \(2x-y+8=0;x+2y-1=0\) \(2x-y-8=0;x+2y+1=0\) \(2x+y-8=0;x-2y+1=0\) Hướng dẫn giải:
Từ phương trình của (C) suy ra (C) có tâm I(2;1).
Gọi \(M\left(x;y\right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến (kẻ qua A tới đường tròn) với đường tròn (C) đã cho. Như vậy ta có:
\(MA\perp MI\) và \(M\in\left(C\right)\) tức là \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{IM}=0\\x^2+y^2-4x-2y=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)\left(x-2\right)+\left(y+2\right)\left(y-1\right)=0\\x^2+y^2-4x-2y=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-5x+y+4=0\\x^2+y^2-4x-2y=0\end{matrix}\right.\)
Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được \(-x+3y+4=0\Leftrightarrow x=3y+4\)
Thế \(x=3y+4\) vào phương trình thứ hai của hệ và rút gọn ta được \(10y^2+10y=0\Leftrightarrow y=0;y=-1\).
-Với \(y=-1\) thì \(x=3y+4=1\), tiếp điểm là \(M\left(1;-1\right)\) (hình vẽ). Tiếp tuyến qua A(3;-2) và có vecto pháp tuyên
\(\overrightarrow{IM}=\left(1-2;-1-1\right)=\left(-1;-2\right)\) nên tiếp tuyến có phương trình
\(\left(-1\right).\left(x-3\right)-2\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow x+2y+1=0\)
- Với \(y=0\) thì \(x=3y+4=4\), tiếp điểm là N(4;0) (hình vẽ).
Tiếp tuyến qua A(3;-2) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{IN}=\left(4-2;0-1\right)=\left(2;-1\right)\) nên tiếp tuyến có phương trình
\(2.\left(x-3\right)+\left(-1\right)\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow2x-y-8=0\)