Viết phương trình chính tắc elip (E) có hai tiêu điểm nằm trên trục hoành, tâm đối xứng là gốc tọa độ O, tâm sai \(e=\frac{2}{3}\) và đi qua điểm \(N\left(2;-\frac{5}{3}\right)\).
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\) \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1\) \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1\) Hướng dẫn giải:Phương trình chính tắc elip có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), tâm sai \(e=\dfrac{c}{a}\) với \(c^2=a^2-b^2\), các đường chuẩn là \(x=\pm\dfrac{a^2}{c}\), khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\dfrac{2a^2}{c}\). Từ giả thiết tâm sai \(e=\dfrac{2}{3}\) suy ra: \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow3c=2a\Rightarrow4a^2=9c^2=9\left(a^2-b^2\right)\Rightarrow b^2=\dfrac{5a^2}{9}\), phương trình elip trở thành \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{9y^2}{5a^2}=1\).
Lại do giả thiết elip qua điểm \(N\left(2;-\dfrac{5}{3}\right)\) suy ra
\(\dfrac{2^2}{a^2}+\dfrac{9\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2}{5a^2}=1\Leftrightarrow\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{5}{a^2}=1\Leftrightarrow a^2=9,b^2=\dfrac{5}{9}a^2=5\)
Đáp số: \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1\).