Viết phương trình chính tắc elip (E) có tâm đối xứng O, hai trục đối xứng là hai trục tọa độ, tiêu điểm nằm trên trục \(\overrightarrow{Ox}\), tiêu cự bằng 8 và qua điểm \(M\left(\sqrt{15};-1\right)\).
\(\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{16}=1\) Hướng dẫn giải:Phương trình chính tắc elip có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), tiêu cự \(2c\) trong đó \(c^2=a^2-b^2\). Từ giả thiết tiêu cự bằng 8 suy ra \(2c=8\Leftrightarrow c=4\), \(b^2=a^2-c^2=a^2-16\) , điều kiện \(a^2>16\). Phương trình của elip trở thành \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2-16}=1\). Giả thiết elip qua điểm \(M\left(\sqrt{15};-1\right)\) suy ra
\(\dfrac{15}{a^2}+\dfrac{1}{a^2-16}=1\Leftrightarrow\) \(a^4-32a^2+240=0\)\(\Leftrightarrow a^2=20;a^2=12\) (loại) \(\Leftrightarrow a^2=20,b^2=4\)
Đáp số: \(\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{4}=1\).