a/ Giải bất phương trình: \(\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+3}\ge x^3+3x-1\)
b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(M=\left|\sqrt{4x^2-4x+5}-\sqrt{4x^2+12x+25}\right|\)
Chắc là ko cần hiểu đâu, nhưng toàn bộ nằm trong quy tắc cơ bản mà: \(\int\left(uv\right)'dx=\int u'vdx+\int uv'dx\)
\(\int f'\left(x\right)dx=f\left(x\right)\) nên \(\int\left(uv\right)'dx=uv\)
\(v'dx=dv\) ; \(u'dx=du\)
ráp vào là thành công thức kia
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=4k+1\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{4k+1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow-1\le\frac{4k+1}{\sqrt{2}}\le1\)
\(\Rightarrow\frac{-\sqrt{2}-1}{4}\le k\le\frac{\sqrt{2}-1}{4}\)
\(\Rightarrow k=0\)
\(\Rightarrow sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
a/ ĐKXĐ: \(x\ge\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow x^3+3x-1-\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+3}\le0\)
\(\Leftrightarrow x^3-1+x-\sqrt{3x-2}+2x-\sqrt{x+3}\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+\frac{x^2-3x+2}{x+\sqrt{3x-2}}+\frac{4x^2-x-3}{2x+\sqrt{x+3}}\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x+\sqrt{3x-2}}+\frac{\left(x-1\right)\left(4x+3\right)}{2x+\sqrt{x+3}}\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+1+\frac{x-2}{x+\sqrt{3x-2}}+\frac{4x+3}{2x+\sqrt{x+3}}\right)\le0\)
Do \(x\ge\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{x-2}{x+\sqrt{3x-2}}\ge-\frac{1}{2}\Rightarrow1+\frac{x-2}{x+\sqrt{3x+2}}>0\)
\(\Rightarrow x^2+x+1+\frac{x-2}{x+\sqrt{3x-2}}+\frac{4x+3}{2x+\sqrt{x+3}}>0\)
\(\Rightarrow x-1\le0\Rightarrow x\le1\)
Kết hợp ĐKXĐ \(\Rightarrow\frac{2}{3}\le x\le1\)
b/ \(M=\left|\sqrt{\left(2x-1\right)^2+2^2}-\sqrt{\left(2x+3\right)^2+4^2}\right|\)
Trong mặt phẳng Oxy, xét điểm \(M\left(2x;0\right)\) ; \(B\left(1;2\right)\) ; \(C\left(-3;4\right)\)
\(\overrightarrow{BC}=\left(-4;2\right)\Rightarrow BC=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BM}=\left(2x-1;-2\right)\\\overrightarrow{CM}=\left(2x+3;-4\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BM=\sqrt{\left(2x-1\right)^2+2^2}\\CM=\sqrt{\left(2x+3\right)^2+4^2}\end{matrix}\right.\)
Theo BĐT tam giác, ta luôn có \(\left|BM-CM\right|\le BC\)
\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{\left(2x-1\right)^2+2^2}-\sqrt{\left(2x+3\right)^2+4^2}\right|\le2\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow M_{max}=2\sqrt{5}\) khi M;B;C thẳng hàng \(\Rightarrow x=\frac{5}{2}\)
Trong khi bố mẹ và thầy em bắt học thì anh kêu em đi chơi :v Ko lẽ giờ ở nhà ngồi tự kỷ chơi kéo búa bao :( Mà em chắc cái đống kiến thức kia khó nhét vô đầu lắm, nên là học trước vẫn hơn
Ủa mà sao ký hiệu tích phân với nguyên hàm giống nhau vậy anh? Đều là \(\int\)
A, dễ hiểu hẳn, thế mà bấy lâu nay lù rù ko phân biệt được cái nào ra cái nào :(
Ủa cái này là nguyên hàm cơ bản \(x^{\alpha}\) thì cứ áp công thức chứ gì?
Ủa sao anh nhắn mà vẫn hiển thị bình luận là 15 nhỉ? Làm em cứ tưởng anh ngủ rồi. Mà em ghi nham đề bài đó ạ :<
\(\int x.e^{x^2+1}dx\) đây mới đúng ạ :<
Anh ơi em cứ thấy khó hiểu ý ạ :< Ta phải biến đổi f(x) về thành dạng như thế nào rồi mới được áp dụng công thức, hay áp dụng trực tiếp luôn ạ?
Ví dụ câu này: \(\int e^{2x}+2^{2x-1}+\frac{e^{2x}}{3^{x-1}}\)
Câu này làm như nào vậy ạ?
\(\int\left(x^2+3x+2\right)e^x\)
Anh check giùm em câu này với ạ
\(\int x\sqrt[4]{1-x^2}dx=\int x.\left(1-x^2\right)^{\frac{1}{4}}dx\)
\(1-x^2=u\Rightarrow du=-2xdx\Leftrightarrow xdx=-\frac{du}{2}\)
\(=-\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{4}}.du=-\frac{1}{2}.\frac{4}{5}.\left(1-x^2\right)^{\frac{5}{4}}\)
Và câu này làm thế nào ạ "^"
\(\int\frac{\left(x+2\right)dx}{x^2+4x+3}\)
Thì tìm riêng rẽ 2 cái nguyên hàm trên 2 miền khác nhau ra là được thôi, ko có gì đâu
Dạ ok thế tạm ổn rồi ạ, để em kiếm thêm bài tập về đặt ẩn rồi làm thử :)
Mà tháng cô hồn rồi sao anh vẫn thức khuya dữ nhỉ, ko lẽ anh cũng định "thử" nhìn ma một lần trong đời? :v
Ko tại mấy bữa nay cúp C1 đang đá mấy vòng cuối :)
2h sáng :v Đá xong chắc 4h hơn, ghê thật, ngủ muộn suýt bằng em, em 5h kém ngủ :)))
2/ \(\left\{{}\begin{matrix}u=2x+3\\dv=\sin3x.dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2x\\v=-\frac{1}{3}\cos3x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\left(2x+3\right).\left(-\frac{1}{3}\cos3x\right)+\frac{2}{3}\int\cos3x.dx\)
\(I=\frac{2}{9}.\sin3x-\left(2x+3\right)\cos3x+C\)
3/ \(\left\{{}\begin{matrix}u=x^2+1\\dv=\cos\left(2x+1\right)dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2x.dx\\v=\frac{1}{2}\sin\left(2x+1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\left(x^2+1\right)\left(\frac{1}{2}\sin\left(2x+1\right)\right)-\int\sin\left(2x+1\right)x.dx\)
Xet \(\int\sin\left(2x+1\right)x.dx\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=\sin\left(2x+1\right)dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-\frac{1}{2}.\cos\left(2x+1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\int\sin\left(2x+1\right)x.dx=-\frac{1}{2}x.\cos\left(2x+1\right)+\int\frac{1}{2}\cos\left(2x+1\right).dx=-\frac{1}{2}x\cos\left(2x+1\right)+\frac{1}{4}.\sin\left(2x+1\right)\)\(\Rightarrow I=\left(x^2+1\right)\left(\frac{1}{2}\sin\left(2x+1\right)\right)+\frac{1}{2}x\cos\left(2x+1\right)-\frac{1}{4}\sin\left(2x+1\right)\)
4/ \(\left\{{}\begin{matrix}u=x^2+2\\dv=e^{3x+1}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2x.dx\\v=\frac{1}{3}e^{3x+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\left(x^2+2\right)\left(\frac{1}{3}e^{3x+1}\right)-\frac{2}{3}\int e^{3x+1}.x.dx\)
Xet \(\int e^{3x+1}.x.dx\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=e^{3x+1}.dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=\frac{1}{3}.e^{3x+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\int e^{3x+1}.x.dx=\frac{1}{3}.x.e^{3x+1}-\frac{1}{3}\int e^{3x+1}.dx=\frac{1}{3}x.e^{3x+1}-\frac{1}{9}.e^{3x+1}\)
\(\Rightarrow I=\left(x^2+2\right)\left(\frac{1}{3}e^{3x+1}\right)-\frac{2}{9}x.e^{3x+1}+\frac{2}{27}.e^{3x+1}\)
5/ \(\left\{{}\begin{matrix}u=\sin\left(2x+1\right)\\dv=e^{3x+1}.dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\frac{1}{2}\cos\left(2x+1\right).dx\\v=\frac{1}{3}e^{3x+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\frac{1}{3}e^{3x+1}.\sin\left(2x+1\right)+\frac{1}{6}\int e^{3x+1}.\cos\left(2x+1\right)dx\)
Xet \(\int e^{3x+1}.\cos\left(2x+1\right)dx\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u=\cos\left(2x+1\right)\\dv=e^{3x+1}.dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{1}{2}\sin\left(2x+1\right)dx\\v=\frac{1}{3}e^{3x+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\int e^{3x+1}.\cos\left(2x+1\right)dx=\frac{1}{3}\cos\left(2x+1\right).e^{3x+1}-\frac{1}{6}.I\)
\(\Rightarrow I=\frac{1}{3}e^{3x+1}.\sin\left(2x+1\right)+\frac{1}{18}\cos\left(2x+1\right).e^{3x+1}-\frac{1}{36}I\)
6/ \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=x^{-2}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{dx}{x}\\v=-x^{-2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=-lnx.x^{-2}+\int x^{-3}.dx=-lnx.x^{-2}-\frac{1}{2}.x^{-2}\)
Oa xong rồi :) Còn mỗi câu đầu tiên em ko thấy có nguyên hàm của logarit anh ạ :< Có mỗi của loga nepe thui à
Ờ hén, em uên mất '^'
a/ \(\left\{{}\begin{matrix}u=\log_2x\\dv=\left(x^2+x+1\right)dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{1}{x.ln2}.dx\\v=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\log_2x.\left(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+x\right)-\int\frac{1}{x.ln2}.\left(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+x\right).dx\)
\(\int\frac{1}{x.ln2}\left(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+x\right)dx=\frac{1}{ln2}\int\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x+1=\frac{1}{ln2}.\left(\frac{1}{9}.x^3+\frac{1}{4}.x^2+x\right)\)
\(\Rightarrow I=log_2x\left(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+x\right)-\frac{1}{ln2}\left(\frac{1}{9}x^3+\frac{1}{4}x^2+x\right)\)
Đúng chưa ạ? :<
Ờ nhỉ :v
\(\int\frac{dx}{\cos2x+1}=ln\left|\cos2x+1\right|\) đúng ko anh?
Hàm hữu tỉ là \(\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\) với P, Q là các hàm đa thức
\(\frac{1}{\left(x-a\right)^n\left(x-b\right)^m\left(x-c\right)^p...}=\frac{C_1}{x-a}+\frac{C_2}{\left(x-a\right)^2}+...+\frac{C_i}{\left(x-a\right)^n}+\frac{C_i}{x-b}+\frac{C_i}{\left(x-b\right)^2}+...+\frac{C_i}{\left(x-b\right)^m}+\frac{C_i}{x-c}+...\)
Tử số là các hằng số khác nhau cần phải tìm bằng phép hệ số bất định
Um okie :) Anh ngủ đi ạ, khuya rồi, em tìm thêm mấy bài nữa làm đây, chắc ngày kia mới chuyển sang dạng khác được quá hic :( 
Ủa cái trong căn phải là 2x-3 chứ nhỉ? Tính nãy giờ ko ra hết trơn :<
Hmm, trông dị dị kiểu chi ý anh :D
\(u=2x-1\Rightarrow du=2dx\)
\(=\frac{1}{2}\int\left(u-2+\sqrt{5}\right)\left(u-2-\sqrt{5}\right).u^{\frac{1}{10}}.du\)
\(=\frac{1}{2}\int\left(u^2-4u-1\right).u^{\frac{1}{10}}du=....\)
Em thấy cách đặt kiểu này đơn giản là biến cái trong căn về một ẩn rồi nhân với mấy cái trong ngoặc thành nguyên hàm cơ bản anh nhỉ?
