Lời giải:
1. Khi $m=1$ thì PTĐT $(d): y=4$
PT hoành độ giao điểm:
$y=x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$
Vậy tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là $(2;4); (-2;4)$
2.
PT hoành độ giao điểm:
$y=x^2-[2(m-1)x-m^2+5]=0$
$\Leftrightarrow x^2-2(m-1)x+m^2-5=0(*)$
Để $(d)$ tiếp xúc với $(P)$ thì PT $(*)$ chỉ có 1 nghiệm duy nhất.
Điều này xảy ra khi $\Delta'_{(*)}=(m-1)^2-(m^2-5)=0$
$\Leftrightarrow m=3$
3. Để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau ở 2 điểm phân biệt thì PT $(*)$ phải có 2 nghiệm $x_1,x_2$ phân biệt.
Điều này xảy ra khi $\Delta'_{(*)}>0$
$\Leftrightarrow -2m+6>0\Leftrightarrow m< 3(*)$
Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=m^2-5\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
$x_1,x_2\neq 0$ (để phân thức có nghĩa) thì $m^2-5\neq 0(**)$
Để $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$
$\Leftrightarrow \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2$
$\Leftrightarrow \frac{2(m-1)}{m^2-5}=2$
$\Rightarrow m^2-m-4=0$
$\Rightarrow m=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}$ (đều thỏa thỏa mãn với $(*); (**)$)
Vậy......
