Cho x, y nguyên dương thỏa mãn x+y=2007
Tìm GTLN, GTNN của \(P=x\left(x^2+y\right)+y\left(y^2+x\right)\)
Akai Haruma giúp em vs
Ta có :
\(P=x^3+xy+y^3+xy\)
\(P=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+2xy-3x^2y-3xy^2\)
\(P=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+2xy\)
\(P=2007^3-3xy\cdot2007+2xy\)
\(P=2007^3-6021xy+2xy\)
\(P=2007^3-6023xy\)
Xét \(\left(x-y\right)^2=x^2-2xy+y^2=\left(x+y\right)^2-4xy=2007^2-4xy\)
\(\Leftrightarrow-4xy=\left(x-y\right)^2-2007^2\)
\(\Leftrightarrow-xy=\frac{\left(x-y\right)^2-2007^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow-6019xy=\frac{6019\cdot\left[\left(x-y\right)^2-2007^2\right]}{4}\)
Khi đó \(P=2007^3+\frac{6019\left[\left(x-y\right)^2-2007^2\right]}{4}\)
Theo giải thiết : \(x;y\in Z^+\) và \(x+y=2007\)
\(\Rightarrow x_{max}=2006\Leftrightarrow y=1\)
Do đó \(\left(x-y\right)_{max}=2006-1=2005\)
\(\Leftrightarrow\left|x-y\right|\le2005\)(1)
Tương tự ta có \(\left|x-y\right|\ge1\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Leftrightarrow1\le\left|x-y\right|\le2005\)
\(\Leftrightarrow1\le\left(x-y\right)^2\le2005^2\)
+) \(P_{min}=2007^3+\frac{6019\cdot\left(1^2-2007^2\right)}{4}=2023089115\)
+) \(P_{max}=2007^3+\frac{6019\cdot\left(2005^2-2007^2\right)}{4}=8072220229\)
Vậy...
p/s: Akai Haruma Kiểm tra hộ em nhé. Số to quá @@
