Question

Cho hình vuông ABCD có cạnh a , Qua đỉnh A vẽ đường thẳng cát BC tại M , cắt CD tại I . CMR :

\(\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AI^2}=\dfrac{1}{a^2}\)

Answer 1

Qua đỉnh A vẽ \(AK\perp AI\).

Ta có : \(\widehat{KAD}+\widehat{DAM}=\widehat{BAM}+\widehat{MAD}=90^O\)

\(\Rightarrow\widehat{KAD}=\widehat{BAM}\)

Xét \(\Delta KADvà\Delta MAB\) lần lượt vuông tại D và B , có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{KDA}=\widehat{ABM}=90^0\\AD=AB\left(gt\right)\\\widehat{KAD}=\widehat{BAM}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\Delta KAD=\Delta MAB\left(cgv-gnk\right)\)

\(\Rightarrow AK=MA\)

Áp dụng hệ thức lượng vào \(\Delta AKI\) vuông tại A có :

\(\dfrac{1}{AK^2}+\dfrac{1}{AI^2}=\dfrac{1}{a^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AI^2}=\dfrac{1}{a^2}\)