Question

Giả sử f : R → R là hàm đơn điệu sao cho lim x → ∞ f 2 x f x = 1 . Với mọi k > 0, tính giới hạn lim x → ∞ f k x x

A. 1

B. 2

C.  1 2

D.  + ∞

Answer 1

Ta có 

lim x → ∞ f 2 x f x = 1 ⇒ lim x → ∞ f 2 n x f x = lim x → ∞ f 2 n x f x . f 2 n - 1 x f 2 n - 2 x . . f 2 x f x = 1

Giả sử f(x) tăng và k ≥ 1 . Ta thấy tồn tại n ∈ N  sao cho  2 n ≤ k ≤ 2 n + 1

 Theo tính đơn điệu của f, ta có  f 2 " x ≤ f k x ≤ f 2 n + 1 x

Từ đây suy ra  lim x → ∞ f k x x = 1 , ∀ k ≥ 1

Cũng suy luận như trên, trong trường hợp 0 < k < 1 ta có

lim x → ∞ f k x x = lim x → ∞ f u f u k = 1

Vậy ta thu được lim x → ∞ f k x x = 1 , ∀ k > 0

Đáp án A