Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 2 ; 3 ; 0 , B 0 ; − 2 ; 0 , M 6 5 ; − 2 ; 2  và đường thẳng d : x = t y = 0 z = 2 − t . Điểm C thuộc d sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất thì độ dài CM bằng

A. 2 3 .

B.4

C.2

D. 2 6 5 .

Answer 1

Đáp án C

Do AB có độ dài không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi tổng A C + B C  nhỏ nhất.

Do

C ∈ d ⇒ C t ; 0 ; 2 − t ⇒ A C = 2 t − 2 2 + 9 B C = t 2 + 2 − t 2 + 2 = 2 1 − t 2 + 4

Suy ra  A C + B C = 2 t − 2 2 2 + 9 + 2 − 2 t 2 + 4   .

Đặt   u → = 2 t − 2 2 ; 3 và v → = 2 − 2 t ; 2 . Áp dụng bất đẳng thức  u → + v → ≥ u → + v →   , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi u → , v →  cùng hướng ta được:

2 t − 2 2 2 + 9 + 2 − 2 t 2 + 4 ≥ − 2 2 + 5 2 = 27

Dấu “=” xảy ra ⇔ 2 t − 2 2 2 − 2 t = 3 2 ⇔ t − 2 1 − t = 3 2 ⇔ t = 7 5 . Suy ra C 7 5 ; 0 ; 3 5 .

Vậy C M = 7 5 − 6 5 2 + 0 + 2 2 + 3 5 − 2 2 = 2