Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm  P 2 ; − 1 ; 3 ,   Q 3 ; 2 ; 1 . Gọi  α  là mặt phẳng chứa P và cách Q một khoảng dài nhất. Phương trình mặt phẳng  α  là

A. 3x + y - z - 2 = 0

B. x + 3y - 2z + 7 = 0

C. x - 2y - 3z - 18 = 0

D. 6x + 2y - 3z - 1 = 0

Answer 1

Đáp án B

Mặt phẳng  α  có phương trình dạng  Ax + By + Cz + D = 0  (điều kiện  A 2 + B 2 + C 2 > 0 )

Vì P thuộc  α  nên  2 A − B + 3 C + D = 0 ⇔ D = − 2 A + B − 3 C

Khoảng cách từ Q đến mặt phẳng  α  là

d Q , α = 3 A + 2 B + C + D A 2 + B 2 + C 2                             = A + 3 B − 2 C A 2 + B 2 + C 2 ≤ 1 2 + 3 2 + − 2 2 . A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 + C 2 = 14

Như vậy khoảng cách từ Q đến  α  lớn nhất  d = 14  khi  A 1 = B 3 = C − 2 .

Do A, B, C không đồng thời bằng 0 nên chọn  A = 1 ,   B = 3 ,   C = − 2 , ⇒ D = 7 .

Phương trình mặt phẳng  α : x + 3 y − 2 z + 7 = 0