Question

Đường thẳng y = kx cắt elip x 2 a 2   +   y 2 b 2   =   1 tại hai điểm phân biệt:

A.   Đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

B.   Đối xứng nhau qua trục Oy

C.   Đối xứng nhau qua trục Ox

D. Nằm về một phía của Ox

Answer 1

Giao điểm của đường thẳng y = kx và elip là nghiệm hệ:  y = k x ​​​​              ( 1 ) x 2 a 2 + ​ y 2 b 2 = 1        ( 2 )

Thế (1) vào (2) ta được: 

x 2 a 2 + ​ k 2 . x 2 b 2 = 1    ⇔ b 2 x 2 + ​ a 2 k 2 x 2 = a 2 b 2 ⇔ ( b 2 + ​ a 2 k 2 ) x 2 = a 2 b 2 (*)

Ta thấy nếu x   =   x 0 là nghiệm phương trình (*) thì ( - x 0 ) cũng là nghiệm của (*)

Vây phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt là 2 số đối nhau. 

Mà y = kx nên tung độ của 2 giao điểm cũng là 2 số đối nhau.

Suy ra,  đường thẳng cắt elip tại 2 điểm đối xứng với nhau qua tâm O.

Đáp án A