Ô tô dừng hẳn khi v(t) = 20 - 4t = 0 => t = 5 (s)

Quãng đường mà ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là:

\(S=\int_0^5\left(20-4t\right)dt=50\left(m\right)\)

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t=5 đến t=10 là

\(S=\int_5^{10}v\left(t\right)dt=\int_5^{10}\left(5t+10\right)dt=237,5\left(m\right)\)

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t=3 đến t=13 là

\(S=\int_3^{13}v\left(t\right)dt=\int_3^{13}\left(t+1\right)dt=90\left(m\right)\)

Để tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x=0;x=8\), ta sử dụng phương pháp tích phân. Theo đề bài, khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\left(y=0\right)\) tại điểm có hoành độ \(x\)  \(\left(0\le x\le8\right)\), tiết diện thu được là một hình chữ nhật có hai cạnh là \(7x\) và \(\sqrt{64-x^2}\)

Diện tích của tiết diện tại mỗi điểm \(x\) là:

\(A\left(x\right)=7x.\sqrt{64-x^2}\)

Thể tích \(V\) của vật thể được tính bằng tích phân của diện tích tiết diện từ \(x=0;x=8:\)

\(V=\int\limits^8_0A\left(x\right)dx=\int\limits^8_0\left(7x.\sqrt{64-x^2}\right)dx\)

Đặt \(u=\sqrt{64-x^2}\Rightarrow du=-2xdx\Rightarrow xdx=-\dfrac{du}{2}\)

\(\Rightarrow V=7\int\limits^0_{64}\left(-\sqrt{u}.\dfrac{1}{2}\right)du=\dfrac{7}{2}\int\limits^{64}_0\sqrt{u}du\)\(\Rightarrow V=\dfrac{7}{2}\left[\dfrac{2}{3}u^{\dfrac{3}{2}}\right]^{64}_0=\dfrac{7}{2}.\dfrac{2}{3}\left[64^{\dfrac{3}{2}}-0\right]=\dfrac{7}{3}.512=\dfrac{3584}{3}\left(đvtt\right)\)

Sửa lại \(u=64-x^2\)

Để tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x=0;x=2\), ta sử dụng phương pháp tích phân. Theo đề bài, khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\left(y=0\right)\) tại điểm có hoành độ \(x\left(0\le x\le2\right)\), tiết diện thu được là một hình chữ nhật có hai cạnh là \(2x\) và \(\sqrt{4-x^2}\)

Diện tích của tiết diện tại mỗi điểm \(x\) là:

\(A\left(x\right)=2x.\sqrt{4-x^2}\)

Thể tích \(V\) của vật thể được tính bằng tích phân của diện tích tiết diện từ \(x=0;x=2:\)

\(V=\int\limits^2_0A\left(x\right)dx=\int\limits^2_02x\sqrt{4-x^2}dx\)

Đặt \(u=4-x^2\Rightarrow du=-2xdx\Rightarrow xdx=-\dfrac{du}{2}\)

\(\Rightarrow V=2\int\limits^0_4\left(-\sqrt{u}.\dfrac{1}{2}\right)du=\int\limits^4_0\sqrt{u}du\)

\(\Rightarrow V=\left[\dfrac{2}{3}u^{\dfrac{3}{2}}\right]^4_0=\dfrac{2}{3}.\left[4^{\dfrac{3}{2}}-0\right]=\dfrac{2}{3}.8=\dfrac{16}{3}\left(đvtt\right)\)

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox là

\(V=\pi\int_1^6\left(4xe^x\right)^2dx=16\pi\int_1^6x^2e^{2x}dx\)

Gọi \(I=\int x^2e^{2x}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x^2\\dv=e^{2x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2xdx\\v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}x^2e^{2x}-\int\dfrac{1}{2}e^{2x}2xdx=\dfrac{1}{2}x^2e^{2x}-\int e^{2x}xdx\)

Gọi \(K=\int e^{2x}xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=e^{2x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow K=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\int\dfrac{1}{2}e^{2x}dx=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{1}{4}e^{2x}+C\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}x^2e^{2x}-\dfrac{1}{2}xe^{2x}+\dfrac{1}{4}e^{2x}+C\)

\(\Rightarrow\int_1^6x^2e^{2x}dx=\left(\dfrac{1}{2}x^2e^{2x}-\dfrac{1}{2}xe^{2x}+\dfrac{1}{4}e^{2x}\right)|^6_1\)

\(=\dfrac{36e^{12}}{2}-\dfrac{6e^{12}}{2}+\dfrac{e^{12}}{4}-\dfrac{e^2}{2}+\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2}{4}\)

\(=\dfrac{61e^{12}-e^2}{4}\)

\(\Rightarrow V=16\pi.\dfrac{61e^{12}-e^2}{4}=4\pi\left(61e^{12}-e^2\right)\)

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox là

\(V=\pi\int_1^6\left(4xe^x\right)^2dx=16\pi\int_1^6x^2e^{2x}dx\)

Gọi \(I=\int x^2e^{2x}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x^2\\dv=e^{2x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2xdx\\v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}x^2e^{2x}-\int\dfrac{1}{2}e^{2x}2xdx=\dfrac{1}{2}x^2e^{2x}-\int e^{2x}xdx\)

Gọi \(K=\int e^{2x}xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=e^{2x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow K=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\int\dfrac{1}{2}e^{2x}dx=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{1}{4}e^{2x}+C\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}x^2e^{2x}-\dfrac{1}{2}xe^{2x}+\dfrac{1}{4}e^{2x}+C\)

\(\Rightarrow\int_1^6x^2e^{2x}dx=\left(\dfrac{1}{2}x^2e^{2x}-\dfrac{1}{2}xe^{2x}+\dfrac{1}{4}e^{2x}\right)|^6_1\)

\(=\dfrac{36e^{12}}{2}-\dfrac{6e^{12}}{2}+\dfrac{e^{12}}{4}-\dfrac{e^2}{2}+\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2}{4}\)

\(=\dfrac{61e^{12}-e^2}{4}\)

\(\Rightarrow V=16\pi.\dfrac{61e^{12}-e^2}{4}=4\pi\left(61e^{12}-e^2\right)\)

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox là

\(V=\pi\int_1^6\left(4xe^x\right)^2dx=16\pi\int_1^6x^2e^{2x}dx\)

Gọi \(I=\int x^2e^{2x}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x^2\\dv=e^{2x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2xdx\\v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}x^2e^{2x}-\int\dfrac{1}{2}e^{2x}2xdx=\dfrac{1}{2}x^2e^{2x}-\int e^{2x}xdx\)

Gọi \(K=\int e^{2x}xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=e^{2x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow K=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\int\dfrac{1}{2}e^{2x}dx=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{1}{4}e^{2x}+C\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}x^2e^{2x}-\dfrac{1}{2}xe^{2x}+\dfrac{1}{4}e^{2x}+C\)

\(\Rightarrow\int_1^6x^2e^{2x}dx=\left(\dfrac{1}{2}x^2e^{2x}-\dfrac{1}{2}xe^{2x}+\dfrac{1}{4}e^{2x}\right)|^6_1\)

\(=\dfrac{36e^{12}}{2}-\dfrac{6e^{12}}{2}+\dfrac{e^{12}}{4}-\dfrac{e^2}{2}+\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2}{4}\)

\(=\dfrac{61e^{12}-e^2}{4}\)

\(\Rightarrow V=16\pi.\dfrac{61e^{12}-e^2}{4}=4\pi\left(61e^{12}-e^2\right)\)

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox là \(V=\pi\int_3^5\left(4xe^{2x}\right)^2dx=16\pi\int_3^5x^2e^{4x}dx\)

Gọi \(I=\int x^2e^{4x}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x^2\\dv=e^{4x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2xdx\\v=\dfrac{1}{4}e^{4x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=x^2.\dfrac{1}{4}e^{4x}-\int\dfrac{1}{4}e^{4x}.2xdx=x^2.\dfrac{1}{4}e^{4x}-\dfrac{1}{2}\int xe^{4x}dx\)

Gọi \(K=\int xe^{4x}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=e^{4x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=\dfrac{1}{4}e^{4x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow K=x.\dfrac{1}{4}e^{4x}-\int\dfrac{1}{4}e^{4x}dx=x.\dfrac{1}{4}e^{4x}-\dfrac{1}{16}e^{4x}\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{x^2e^{4x}}{4}-\dfrac{xe^{4x}}{8}+\dfrac{e^{4x}}{32}+C\)

\(\Rightarrow V=16\pi\left(\dfrac{25e^{20}}{4}-\dfrac{5e^{20}}{8}+\dfrac{e^{20}}{32}-\dfrac{9e^{12}}{4}+\dfrac{3e^{12}}{8}-\dfrac{e^{12}}{32}\right)\)

\(=16\pi\left(\dfrac{181e^{20}}{32}-\dfrac{61e^{12}}{32}\right)=\pi\dfrac{181e^{20}-61e^{12}}{2}\)

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox là

\(V=\pi\int_{-3}^{-2}\left(-5x-20\right)^2dx=\dfrac{175\pi}{3}\)

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox là

\(V=\pi\int_3^7\left(5x-5\right)^2dx=\dfrac{5200\pi}{3}\)

\(V=\pi\int\limits^9_4\left(\sqrt{2x-1}\right)^2dx=\pi\left[\left(9^2-9\right)-\left(4^2-4\right)\right]=60\pi\)