Ôn tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Để chứng minh rằng SABC = AB.AC.căn 3/4 và BC^2 = AB^2 + AC^2 - AB.AC, ta có thể sử dụng các định lý trong hình học tam giác nhọn.

Để chứng minh rằng EF = BC/2 và SBCEF = 3SAEF, ta cũng có thể sử dụng các định lý trong hình học tam giác nhọn.

Để chứng minh rằng IM = 2IN và MFI = 30°, ta có thể sử dụng các định lý về tia phân giác và góc trong tam giác.

Tuy nhiên, để có thể chứng minh chính xác các phần trên, cần có thông tin chi tiết về tam giác ABC và các điều kiện đi kèm.

Để chứng minh rằng SABC = AB.AC.căn 3/4 và BC^2 = AB^2 + AC^2 - AB.AC, ta có thể sử dụng các định lý trong hình học tam giác nhọn.

Để chứng minh rằng EF = BC/2 và SBCEF = 3SAEF, ta cũng có thể sử dụng các định lý trong hình học tam giác nhọn.

Để chứng minh rằng IM = 2IN và MFI = 30°, ta có thể sử dụng các định lý về tia phân giác và góc trong tam giác.

Tuy nhiên, để có thể chứng minh chính xác các phần trên, cần có thông tin chi tiết về tam giác ABC và các điều kiện đi kèm.

1:\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot sin\widehat{BAC}\)

\(=AB\cdot AC\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=AB\cdot AC\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)

Xét ΔABC có \(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

=>\(AB^2+AC^2-BC^2=2\cdot AB\cdot AC\cdot cos60=AB\cdot AC\)

=>\(BC^2=AB^2+AC^2-AB\cdot AC\)

2:

Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

góc EAB chung

=>ΔAEB đồng dạng với ΔAFC

=>AE/AF=AB/AC

=>AE/AB=AF/AC

Xét ΔAEF và ΔABC có

AE/AF=AB/AC

góc EAF chung

=>ΔAEF đồng dạng với ΔABC

=>EF/BC=AE/AB=cos60=1/2 và \(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AE}{AB}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

=>EF=BC/2 và \(S_{AEF}=\dfrac{1}{4}\cdot S_{ABC}\)

=>\(S_{AEF}=\dfrac{1}{4}\left(S_{AEF}+S_{BFEC}\right)\)

=>\(\dfrac{3}{4}\cdot S_{AEF}=\dfrac{1}{4}\cdot S_{BFEC}\)

=>\(S_{BFEC}=3\cdot S_{AFE}\)

Để chứng minh rằng √2/AD = 1/AB + 1/AC, ta có thể sử dụng định lý phân giác trong tam giác vuông.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có đường phân giác AD chia góc BAC thành hai góc bằng nhau.

Áp dụng định lý phân giác, ta có:

AB/BD = AC/CD

Từ đó, ta có:

AB/AD + AC/AD = AB/BD + AC/CD

= (AB + AC)/(BD + CD)

= (AB + AC)/BC

= 1/BC (vì tam giác ABC vuông tại A)

Vậy, ta có:

1/AD = 1/AB + 1/AC

√2/AD = √2/AB + √2/AC

Vậy, chứng minh đã được hoàn thành.

Để chứng minh rằng nếu 1/ah^2 + 1/am^2 = 2/ad^2, ta cần có thông tin chi tiết về tam giác ABC và các điều kiện đi kèm.

2/AD^2=(căn 2/AD)^2

=(1/AB+1/AC)^2

\(=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}+2\cdot\dfrac{1}{AB\cdot AC}\)

\(=\dfrac{1}{AH^2}+2\cdot\dfrac{1}{AH\cdot BC}\)

\(=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{AM^2}\)

ΔMNP vuông tại P có PH là đường cao

nên NH*NM=NP^2

=>NH/NP=NP/NM

Xét ΔNPM có NF là phân giác

nên NP/NM=FP/FM

Xét ΔNHP có NE là phân giác

nên NH/NP=EH/EP

=>FP/FM=EH/FP

=>\(\dfrac{PE}{PH}=\dfrac{FM}{MP}\)

a: DCHN là hình chữ nhật

=>DH cắt CN tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau

=>O là trung điểm chung của DH và CN; DH=CN

=>DO=OH=CO=ON=1/2DH=1/2CN

Xét ΔDCN vuông tại D có DM là đường cao

nên CM*CN=CD^2

=>CD^2=CM*2*DO

b: Xét ΔDNO có

NA,DM là đường cao

NA cắt DM tại I

=>I là trực tâm

=>OI vuông góc DN tại E

=>OE//NH

Xét ΔDNH có OE//NH

nên OE/NH=DO/DH=1/2

=>OE=1/2NH

Xét ΔDNH vuông tại N có NA là đường cao

nên HA*HD=NH^2

=>1/4*HA*HD=1/4NH^2=(1/2NH)^2=OE^2

\(M=cot28^o\cdot cot62^o+tan60^o\)

\(M=\dfrac{1}{tan28^o}\cdot\dfrac{1}{tan62^o}+tan60^o\)

\(M=\dfrac{1}{tan28^o\cdot tan62^o}+tan60^o\)

\(M=\dfrac{1}{1}+tan60^o\)

\(M=1+\sqrt{3}\)

a: Xét ΔAHC vuông tại H có sin C=AH/AC

=>AH/8=sin30=1/2

=>AH=4cm

HC=căn AC^2-AH^2=4*căn 3(cm)

b: ΔAHB vuông tại H có  HE là đường cao

nên AE*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên AF*AC=AH^2

=>AE*AB=AF*AC

=>AE/AC=AF/AB

Xét ΔAEF và ΔACB có

AE/AC=AF/AB

góc A chung

=>ΔAEF đồng dạng với ΔACB

=>góc AEF=góc ACB

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AB^2=BH*BC và AC^2=CH*BC

=>AB^2/AC^2=BH/CH

b: S AHC=8,64

=>1/2*AH*HC=8,64

=>AH*HC=17,28

S AHB=15,36

=>1/2*AH*HB=15,36

=>AH*HB=30,72

mà AH*HC=17,28

nên AH*AH*HB*HC=30,72*17,28

=>AH^2*AH^2=30,72*17,28

=>AH^4=530,8416

=>\(AH=\sqrt[4]{530.8416}=4.8\left(cm\right)\)

AC^2=HC*CB

=>HC(HC+7,2)=16^2=256

=>HC^2+7,2*HC-256=0

=>HC=12,8cm

AH=căn 12,8*7,2=9,6cm

BC=12,8+7,2=20cm

AB=căn 7,2*20=12(cm)

AC=căn 12,8*20=16(cm)