Ôn tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 6 :

Xét tam giác vuông AHC tại H có :

\(AC^2=AH^2+CH^2=144+25=169\)

\(\Rightarrow AC=13\left(cm\right)\)

\(sinC=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{12}{13}\)

\(sin^2C+cos^2C=1\Rightarrow cos^2C=1-sin^2C\)

\(\Rightarrow cos^2C=1-\dfrac{144}{169}=\dfrac{25}{169}\)

\(\Rightarrow cosC=\dfrac{5}{13}\left(cos>0\right)\)

\(sinB=sin\left(90^o-C\right)=cosC=\dfrac{5}{13}\)

Bài 7 :

Ta có :

\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^o\) (tam ABC vuông tại A)

\(\Leftrightarrow\widehat{C}=90^o-\widehat{B}=90^o-45^o=45^o\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sin\widehat{C}=sin45^o=\dfrac{\sqrt[]{2}}{2}\\cos\widehat{C}=cos45^o=\dfrac{\sqrt[]{2}}{2}\\tan\widehat{C}=tan45^o=1\\cot\widehat{C}=cot45^o=1\end{matrix}\right.\)

8:

a: ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AB^2=BH*BC

=>BH(BH+16)=15^2=225

=>BH=9cm

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AH^2=HB*HC

=>AH^2=9*16=144

=>AH=12(cm)

b: AB+AC=60-25=35cm

AB^2+AC^2=BC^2=625

AB+AC=35

=>AB^2+AC^2+2*AB*AC=35^2

=>2*AB*AC=35^2-625=600

=>AB*AC=300

mà AB+AC=35

nên AB=15cm; AC=20cm

hoặc AB=20cm; AB=15cm

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AH*BC=AB*AC

=>AH*25=15*20=300

=>AH=12(cm)

3: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có

góc BAH chung

Do đó: ΔAHB đồng dạng với ΔAKC

=>AH/AK=AB/AC

=>AH*AC=AK*AB

Xét ΔAEC vuông tại E có EH là đường cao

nên AH*AC=AE^2

Xét ΔAFB vuông tại F có FK là đường cao

nên AK*AB=AF^2

=>AE=AF

ABCD là hình chữ nhật

=>AC=BD và AB^2+AD^2=BD^2

=>\(AB^2+AD^2=\left(4\sqrt{5}\right)^2=80\)

=>5AD^2=80

=>AD^2=16

=>AD=4

=>AB=8

ΔABD vuông tại A có AH là đường cao

nên AH*BD=AB*AD

=>AH*4căn 5=32

=>\(AH=\dfrac{8}{\sqrt{5}}\)

ΔABD vuông tại A có AH là đường cao

nên DH*DB=AD^2

=>\(DH\cdot4\sqrt{5}=4^2=16\)

=>\(DH=\dfrac{4}{\sqrt{5}}\)

Kẻ CK vuông góc BD, O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình chữ nhật

=>AC=BD và AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

=>DO=2căn 5

\(HO=2\sqrt{5}-\dfrac{4}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\)

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔCKB vuông tại K có

AD=CB

góc ADH=góc CBK

Do đó: ΔAHD=ΔCKB

=>AH=CK 

Xét tứ giác AHCK có

AH//CK

AH=CK

Do đó: AHCK là hình bình hành

=>O là trung điểm của HK

=>HK=2*HO=12*căn 5/5

\(AK=\sqrt{AH^2+HK^2}=\dfrac{4\sqrt{65}}{5}\)

=>\(CH=\dfrac{4\sqrt{65}}{5}\)

17:

ΔABC cân tại A

=>góc ABC=góc ACB=(180-góc BAC)/2

\(=\dfrac{180^0-120^0}{2}=30^0\)

Xét ΔABC có \(\dfrac{AB}{sinC}=\dfrac{BC}{sinA}\)

=>\(\dfrac{AB}{sin30}=\dfrac{48}{sin120}\)

=>\(AB=16\sqrt{3}\left(cm\right)\)

15:

Xét ΔABC có

\(\dfrac{AB}{sinC}=\dfrac{AC}{sinB}\)

=>\(\dfrac{AC}{sin42}=\dfrac{20}{sin36}\)

=>\(AC\simeq22,77\left(cm\right)\)

16:

a:

ΔABC vuông tại A

=>BC^2=AB^2+AC^2

=>BC^2=15^2+20^2=625

=>BC=25cm

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AH*BC=AB*AC

=>AH*25=15*20=300

=>AH=12(cm)

b: BC=BH+CH=10cm

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên BH*BC=BA^2; CH*CB=CA^2

=>BA^2=2*10=20; CA^2=8*10=80

=>\(BA=2\sqrt{5}\left(cm\right);CA=4\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có

\(cosB=sinC=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{2\sqrt{5}}{10}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

\(cosC=sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4\sqrt{5}}{10}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)

3:

Xét ΔCEH vuông tại E và ΔCFA vuông tại F có

\(\widehat{FCA}\) chung

Do đó: ΔCEH đồng dạng với ΔCFA

=>CE/CF=CH/CA

=>\(CE\cdot CA=CH\cdot CF\)

Xét ΔCDH vuông tại D và ΔCFB vuông tại F có

\(\widehat{FCB}\) chung

Do đó: ΔCDH đồng dạng với ΔCFB

=>CD/CF=CH/CB

=>CD*CB=CH*CF

=>CD*CB=CH*CF=CE*CA

Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có

\(\widehat{EBC}\) chung

Do đó: ΔBDH đồng dạng với ΔBEC

=>BD/BE=BH/BC

=>\(BD\cdot BC=BH\cdot BE\)

Xét ΔBDA vuông tại D và ΔBFC vuông tại F có

góc DBA chung

Do đó: ΔBDA đồng dạng với ΔBFC

=>BD/BF=BA/BC

=>BD*BC=BF*BA

=>BD*BC=BF*BA=BH*BE

\(AH\cdot AD+BH\cdot BE=AF\cdot AB+BF\cdot BA=BA^2\)

\(AH\cdot AD+CH\cdot CF=AE\cdot AC+CE\cdot CA=AC^2\)

\(BH\cdot BE+CH\cdot CF=BD\cdot BC+CD\cdot CB=BC^2\)

Do đó: \(2\left(AH\cdot AD+BH\cdot BE+CH\cdot CF\right)=BA^2+AC^2+BC^2\)

=>\(AH\cdot AD+BH\cdot BE+CH\cdot CF=\dfrac{AB^2+AC^2+BC^2}{2}\)

Trong tam giác AMN, ta có:

MN = AN.sin(∠MAN) (định lí sin)

Vì MN là hình chiếu vuông góc của D lên AB và AC, nên AN = AD.cos(∠BAC) và AM = AD.cos(∠CAB). Thay vào công thức trên, ta có:

MN = AD.cos(∠CAB).sin(∠BAC)

Do đó, để chứng minh MN = AD.sin(BAC), ta cần chứng minh rằng:

cos(∠CAB).sin(∠BAC) = sin(∠BAC)

Áp dụng định lí sin, ta có:

cos(∠CAB).sin(∠BAC) = sin(∠BAC).cos(∠CAB)

Vì cos(∠CAB) = cos(90° - ∠BAC) = sin(∠BAC), nên:

sin(∠BAC).cos(∠CAB) = sin(∠BAC).sin(∠BAC) = sin^2(∠BAC)

Vậy, MN = AD.sin(BAC).

Như vậy, đã chứng minh hai điều kiện trên.