Ôn tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Kẻ DI _I_ AE.

BH // DI (BH _I_ AE và DI _I_ AE)

B là trung điểm của AD (D đối xứng A qua B)

=> H là trung điểm của AI

=> BH là đường trung bình của \(\Delta ADI\) và AH = HI = IE

\(\Rightarrow DI=2BH\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại A:

AH² = BH . CH

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{CH}{AH}\)

mà \(\dfrac{ID}{IE}=\dfrac{2BH}{AH}\) ; \(\dfrac{HE}{HC}=\dfrac{2AH}{HC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{ID}{IE}=\dfrac{HE}{HC}\)

=> \(\Delta IDE~\Delta HEC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{IED}=\widehat{HCE}\)

\(\Rightarrow\widehat{DEC}=\widehat{IED}+\widehat{HEC}=\widehat{HCE}+\widehat{HEC}=90^0\left(\text{đ}pcm\right)\)

Vẽ \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\widehat{C}=30^0\), đường phân giác CD.

CD là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{BCD}=\dfrac{\widehat{ACD}}{2}=15^0\)

\(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\widehat{C}=30^0\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) là nửa tam giác đều

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\dfrac{1}{2}BC\\AC=\dfrac{\sqrt{3}}{2}BC\end{matrix}\right.\)

\(\Delta ABC\) có CD là đường phân giác

\(\Rightarrow\tan15^0=\tan\widehat{ACD}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AD+BD}{AC+BC}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BC}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}BC+BC}=2-\sqrt{3}\) (áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau_

\(1+\tan^215^0=\dfrac{1}{\cos^215^0}\)

\(\Rightarrow\cos15^0=\sqrt{\dfrac{1}{1+\tan^215^0}}=\sqrt{\dfrac{1}{1+\left(2-\sqrt{3}\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{1}{8-4\sqrt{3}}}=\sqrt{\dfrac{\left(8+4\sqrt{3}\right)}{64-48}}=\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{4^2}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\left(\text{đ}pcm\right)\)

\(\Delta HAB\) vuông tại H có:

\(\cot B=\dfrac{BH}{AH}\)

\(\Delta HAC\) vuông tại H có:

\(\cot C=\dfrac{HC}{AH}\)

Ta có:

\(\cot B+\cot C=\dfrac{BH}{AH}+\dfrac{HC}{AH}=\dfrac{BC}{AH}=2\)

(cos36-sin36)(cos37-sin38)(sin48-sin48)=0

giúp mình làm câu C với

a)

\(\Delta HAC\) vuông tại H có HD là đường cao

\(\Rightarrow HC^2=DC\times AC\)

HD // AB (cùng _I_ AC)

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{HC}{BC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DC^2}{AC^2}=\dfrac{HC^2}{BC^2}\)

\(\Rightarrow AC^2=\dfrac{DC^2\times BC^2}{HC^2}=\dfrac{DC^2\times BC^2}{DC\times AC}=\dfrac{DC\times BC^2}{AC}\)

\(\Rightarrow AC^3=DC\times BC^2\left(\text{đ}pcm\right)\)

b)

\(\Delta ABC\) vuông tại A có AH là đường cao

\(\Rightarrow AH^2=BH\times CH\) (1)

\(\Delta HAC\) vuông tại H có HD là đường cao

\(\Rightarrow AH^2=AD\times AC\) (2)

(1) và (2) => đpcm

c)

​\(\Delta HAC\) ​vuông tại H có HD là đường cao

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{HC^2}=\dfrac{1}{HD^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{HD^2}-\dfrac{1}{HC^2}\) (3)

\(\Delta ABC\) vuông tại A có AH là đường cao