Ôn tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Đặt BC=a (cm) (a>0)

AB=AC=b (cm) (b>0)

AH là đường cao tương ứng với đáy

Theo định lý Py - Ta -Go, ta có:

\(AB^2=AH^2+BH^2=25+\dfrac{a^2}{4}\left(1\right)\)

Mà \(2S=5a=6b\Rightarrow a=\dfrac{6b}{5}\left(2\right)\)

Thay (2) vào (1), ta được:

\(AB^2=25+\dfrac{a^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow b^2=25+\dfrac{\left(\dfrac{6b}{5}\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow b^2=25+\dfrac{\dfrac{36b^2}{25}}{4}\)

\(\Leftrightarrow b^2=25+\dfrac{36b^2}{100}\)

\(\Leftrightarrow b^2=\dfrac{2500+36b^2}{100}\)

\(\Leftrightarrow100b^2=2500+36b^2\)

\(\Leftrightarrow64b^2=2500\Rightarrow b^2=39,0625\Rightarrow b=6,25\left(cm\right)=AB=AC\)

Thay b=6,25(cm) vào (2), ta được:

\(a=\dfrac{6.6,25}{5}=7,5\left(cm\right)=BC\)

Vậy độ dài cạnh đáy của tam giác cân đó là : 7,5 (cm)

Trong một tam giác với các cạnh có độ dài 6, 7, 9 kẻ đường cao đến ...

P/s : tìm kiếm trước khi hỏi , okie :v

Câu 1
Trên bờ đường thẳng AB . vẽ một đường thẳng AD sao cho AD = 8,BD = 10 (cm) ( D thuộc BD)
Ta lại thấy : 10^2 = 6^2 + 8^2
=> áp dụng định lí Pi-ta-go
=> tam giác ABD vuông tại A
*) Xét tam giác ABD và tam giác HBA có:
góc A = góc H = 90 độ
Góc B chung
=> tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBA ( g-g)
=> AB/HB = BD/AB
=> HB = AB.AB / BD
= 6^2/10 = 3,6 cm
BC = HB + HC = 3,6 + HC =9
=> HC = 5,4 (cm)
Xét tam giác ABH vuông tại H
=> AH^2 = AB^2 - BH^2
=> AH^2 =6^2 - 3,6^2 = 23,04
=> AH = 4,8 (cm)
Vậy độ dài đường cao đó là 4,8 cm và các đoạn thẳng nó định ra trên cạnh lớn lần lượt là 3,6 cm và 5,4 cm

Bài này sin sin, cos có gì đó mà mình đang tịt ngòi, chưa ra........ :D, giải theo cách này vậy........

Gọi đường cao xuất phát từ đỉnh A đến BC là h, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy vào 2 số không âm \(\dfrac{1}{b^2}\) và \(\dfrac{1}{c^2}\), ta có:

\(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{b^2c^2}}=\dfrac{2}{bc}\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{h^2}\ge\dfrac{2}{bc}\)

\(\Leftrightarrow1\ge\dfrac{2h^2}{bc}\)

\(\Leftrightarrow bc\ge2h^2\)

Mà theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì \(bc=ah\)

\(\Rightarrow ah\ge2h^2\)

\(\Leftrightarrow a\ge2h\)

\(\Leftrightarrow a^2\ge2ah\)

\(\Leftrightarrow a^2\ge2bc\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge b^2+c^2+2bc\)

\(\Leftrightarrow a^2+a^2\ge\left(b+c\right)^2\) ( Định lí Py-ta-go)

\(\Leftrightarrow2a^2\ge\left(b+c\right)^2\) (đpcm)

a: \(AH=\sqrt{HB\cdot HC}=6\left(cm\right)\)

Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

Suy ra: AH=DE=6(cm)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xet ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

XétΔABC vuông tại A có AC=1/2BC

nên \(\widehat{B}=30^0\)

\(\sin B=\cos C=\dfrac{1}{2}\)

\(\sin C=\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\tan B=\cot C=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\tan C=\cot B=\sqrt{3}\)

Bài 2:

a: \(A=\dfrac{15\sqrt{x}-11}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{\left(3\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{\left(2\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\dfrac{15\sqrt{x}-11-3x-9\sqrt{x}+2\sqrt{x}+6-2x+2\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\dfrac{-5x+7\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\dfrac{-5\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}\)

b: Để A=1/2 thì \(\dfrac{-5\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow-10\sqrt{x}+2=\sqrt{x}+3\)

hay \(x\in\varnothing\)

Kẻ đường cao DM và đường cao DN của \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\).

Tam giác ABC vuông tại A

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\) (pytago)

=> AB = 9 (cm)

AMDN là hình chữ nhật \(\left(\widehat{DMA}=\widehat{MAN}=\widehat{AND}=90^0\right)\) có AD là tia phân giác

=> AMDN là hình vuông

\(\Rightarrow AD=\sqrt{2}DM\) và \(DM=DN\)

\(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}\)

\(\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}DM.AB+\dfrac{1}{2}DN.AC\)

=> DM = \(\dfrac{36}{7}\) (cm)

=> AD \(\approx7,27\) (cm)