Bài này sin sin, cos có gì đó mà mình đang tịt ngòi, chưa ra........ :D, giải theo cách này vậy........
Gọi đường cao xuất phát từ đỉnh A đến BC là h, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy vào 2 số không âm \(\dfrac{1}{b^2}\) và \(\dfrac{1}{c^2}\), ta có:
\(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{b^2c^2}}=\dfrac{2}{bc}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{h^2}\ge\dfrac{2}{bc}\)
\(\Leftrightarrow1\ge\dfrac{2h^2}{bc}\)
\(\Leftrightarrow bc\ge2h^2\)
Mà theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì \(bc=ah\)
\(\Rightarrow ah\ge2h^2\)
\(\Leftrightarrow a\ge2h\)
\(\Leftrightarrow a^2\ge2ah\)
\(\Leftrightarrow a^2\ge2bc\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge b^2+c^2+2bc\)
\(\Leftrightarrow a^2+a^2\ge\left(b+c\right)^2\) ( Định lí Py-ta-go)
\(\Leftrightarrow2a^2\ge\left(b+c\right)^2\) (đpcm)
