Ôn tập cuối năm môn Đại số

Để M là số nguyên thì \(n-2+5⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow n-2\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

hay \(n\in\left\{3;1;7;-3\right\}\)

Câu hỏi hay luôn:))

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\). Khi đó \(max\left\{\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right\}=\left(a-c\right)^2\)

Như vậy, ta sẽ tìm k sao cho \(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+k\left(a-c\right)^2\le a^2+b^2+c^2\)

Cho c = 0, a = 2b ta được \(\dfrac{-1}{4}\le k\le\dfrac{1}{2}\). Ta sẽ C/m \(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+k\left(a-c\right)^2\le a^2+b^2+c^2\) với mọi \(\dfrac{-1}{4}\le k\le\dfrac{1}{2}\)

Ta có:

\(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+k\left(a-c\right)^2\Leftrightarrow\left(k+\dfrac{1}{4}\right)\left(a-c\right)^2+\dfrac{1}{12}\left(a+c-2b\right)^2\ge0\)

Nên BĐT đầu tiên đúng. Đồng thời:

\(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+k\left(a-c\right)^2\le a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{2}-k\right)\left(a-c\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(a+c-2b\right)^2\ge0\)

Nên BĐT thứ 2 cũng đúng

Bài 1:

Ta có: \(\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

\(\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}=\dfrac{b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}=\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)

\(\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}=\dfrac{c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}=\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

Vậy \(P=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(P\le a\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)+b\left(\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{a+c}\right)+c\left(\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{a+c}\right)=\dfrac{9}{4}\)

Bài 2:

Ta có:

\(\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}=\dfrac{2+\sqrt{4\left(1+x^2\right)}}{2x}\le\dfrac{2+\dfrac{4+\left(1+x^2\right)}{2}}{2x}=\dfrac{9+x^2}{4x}\)

Tương tự ta cũng có:

\(\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}\le\dfrac{9+y^2}{4y};\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\dfrac{9+z^2}{4z}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\dfrac{9+x^2}{4x}+\dfrac{9+y^2}{4y}+\dfrac{9+z^2}{4z}\)

\(=\dfrac{9\left(xy+yz+xz\right)+xyz\left(x+y+z\right)}{4xyz}\le\dfrac{9\cdot\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\left(xyz\right)^2}{4xyz}=xyz\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

Bài 1:

\(\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

Sau đó côsi

Tự làm nốt nhé, ra 3/2 đấy. Em học lớp 8 nên cách giải chỉ thế thôi. Câu 2 em chưa làm được

bài này dễ cho xin 1 slot giải bài giờ làm đề cương đã

Các bạn mik ấn lộn Toán 8 thành Toán 10 mog các ban thog cảm

tích có j đâu mà quí, nhưng bài thiếu, sao cho A làm sao?

mk chỉ bn cách làm: nhanh,gọn,dễ nhớ, dễ áp dụng....bn phải khử hit n nhé: 4n +3 -2(2n-1) = 4n+3 -4n +2 = 5

có 2n -1(ư)5 = -1;-5;1;5

thay 2n-1 =-1 => n = 0

2n-1 =-5 => n = -2

2n-1 = 1 =>n =1; 2n-1=5 =>n = 2

tập nghiệm( -2;0;1;3)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2+\left(m+2\right)x+m-2x+3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+mx+m+3=0\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm nằm về hai phía với trục tung thì m+3<0

hay m<-3

\(\cos\alpha< 0\)
\(\sin\alpha>0\)
\(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2.\left(-0,7\right)^2=0,02\)\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(-0,7\right)^2}=\dfrac{-\sqrt{51}}{10}\)\(\sin2\alpha=2\sin\alpha.\cos\alpha=2.\left(-0,7\right).\dfrac{-\sqrt{51}}{10}=\dfrac{7\sqrt{51}}{50}\)\(\sin2\alpha.\cos2\alpha=\dfrac{7\sqrt{51}}{50}.0,02\approx0,019\)

Ta có \(y'=3-\dfrac{8}{x^3}\).

\(y'=0\Leftrightarrow3-\dfrac{8}{x^3}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{\sqrt[3]{3}}\Rightarrow y=\dfrac{9}{\sqrt[3]{3}}=3\sqrt[3]{9}.\)

Vậy min \(y=3\sqrt[3]{9}\).