Ôn tập chương IV

Đặt \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=t\)

\(t\ge\sqrt{x-1+5-x}=2\)

\(t\le\sqrt{2\left(x-1+5-x\right)}=2\sqrt{2}\)

\(t^2=4+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(5-x\right)}\Rightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(5-x\right)}=\dfrac{t^2-4}{2}\)

Pt trở thành:

\(t+\dfrac{3\left(t^2-4\right)}{2}=m\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}t^2+t-6=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=\dfrac{3}{2}t^2+t-6\) với \(t\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{3}\notin\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(f\left(2\right)=2\) ; \(f\left(2\sqrt{2}\right)=6+2\sqrt{2}\) \(\Rightarrow2\le f\left(t\right)\le6+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi \(2\le m\le6+2\sqrt{2}\)

ĐKXĐ: \(x\ge1\)

\(x-1+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=5\)

Đặt \(\sqrt{x-1}=t\ge0\)

\(\Rightarrow t^2+\sqrt{t+5}=5\)

Đặt \(\sqrt{t+5}=u>0\Rightarrow u^2-t=5\)

\(\Rightarrow t^2+u=u^2-t\Leftrightarrow t^2-u^2+t+u=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t+u\right)\left(t-u+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow t-u+1=0\) (do \(t>0;u>0\Rightarrow t+u>0\))

\(\Leftrightarrow t+1=\sqrt{t+5}\)

\(\Leftrightarrow t^2+2t+1=t+5\Leftrightarrow t^2+t-4=0\)

\(\Rightarrow t=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}\)

\(\Rightarrow x=t^2+1=\dfrac{11-\sqrt{17}}{2}\)

Em kiểm tra lại đề bài, pt này chắc chắn là ko giải được

Đặt \(\sqrt{1-x^2}=t\Rightarrow t\in\left[0;1\right]\)

Pt trở thành:

\(1-t^2+t=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=-t^2+t+1\) trên \(\left[0;1\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\in\left[0;1\right]\)

\(f\left(0\right)=1\) ; \(f\left(1\right)=1\); \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5}{4}\)

\(\Rightarrow1\le f\left(t\right)\le\dfrac{5}{4}\Rightarrow\) pt có nghiệm khi \(m\in\left[1;\dfrac{5}{4}\right]\)

Pt này vô nghiệm, em kiểm tra lại đề bài

ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}-2\le x\le0\\x\ge1\end{matrix}\right.\)

- Với \(-2\le x\le0\Rightarrow2x^2+6x-2< 0\) nên pt vô nghiệm

- Với \(x\ge1\) pt tương đương:

\(5\sqrt{\left(x^2+2x\right)\left(x-1\right)}=2x^2+6x-2\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+2x}=a\\\sqrt{x-1}=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow5ab=2a^2+2b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2a-b\right)\left(a-2b\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2a=b\\a=2b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2\sqrt{x^2+2x}=\sqrt{x-1}\\\sqrt{x^2+2x}=2\sqrt{x-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4\left(x^2+2x\right)=x-1\\x^2+2x=4\left(x-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4x^2+7x+1=0\\x^2-2x+4=0\end{matrix}\right.\)

Với \(x\ge1\) cả 2 pt nói trên đều vô nghiệm (pt dưới luôn luôn vô nghiệm)

Chắc là người ta đề nghĩ rằng pt \(4x^2+7x+1=0\) có nghiệm, nhưng thực ra các nghiệm này ko thỏa mãn

Xét với \(x>1\)

\(\sqrt{2x+m}=x-1\)

\(\Leftrightarrow2x+m=x^2-2x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+1=m\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^2-4x+1\) với \(x>1\)

\(-\dfrac{b}{2a}=2\) ; \(f\left(1\right)=-2\) ; \(f\left(2\right)=-3\)

\(\Rightarrow\) Pt có 2 nghiệm pb lớn hơn 1 khi \(-3< m< -2\)

Bài 3:

a: vecto AB+2 vecto BM=vecto 0

=>2*vecto BM=-vecto AB=vecto BA

=>M là trung điểm của AB

b: 2 vecto NA-3 vecto NB=vecto 0

=>vecto NA=3/2*vecto NB

=>N nằm giữa A và B sao cho NA=3/2NB

a: vecto AB+2vecto BM=vecto 0

=>vecto AB=-2 vecto BM=-2 vecto MB

=>vecto BA=2 vecto BM

=>M là trung điểm của AB

b: =>2 vecto NA=3 vecto NB

=>vecto NA=3/2 vecto NB

=>NA=3/2NB và N nằm giữa A và B

Bài 2:

a: TH1: m=0

=>-x+1=0

=>x=-1(nhận)

TH2: m<>0

\(\text{Δ}=\left(m-1\right)^2-4m\left(1-m\right)\)

=m^2-2m+1-4m+4m^2

=5m^2-6m+1

=(2m-1)(3m-1)

Để phương trình có nghiệm thì (2m-1)(3m-1)>=0

=>m>=1/2 hoặc m<=1/3

b: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì (2m-1)(3m-1)>0

=>m>1/2 hoặc m<1/3

c: Để phương trình có hai nghiệmtrái dấu thì (1-m)*m<0

=>m(m-1)>0

=>m>1 hoặc m<0

d: Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì

\(\left\{{}\begin{matrix}m\in\left(-\infty;\dfrac{1}{3}\right)\cup\left(\dfrac{1}{2};+\infty\right)\\\dfrac{-m+1}{m}>0\\\dfrac{1-m}{m}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left(-\infty;\dfrac{1}{3}\right)\cup\left(\dfrac{1}{2};+\infty\right)\\0< m< 1\end{matrix}\right.\)

=>1/2<m<1