Cho tam giác ABC có góc B và góc C nhỏ hơn 90 độ. Vẽ ra phía ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân ABD và ACE ( trong đó góc ABD và góc ACE đều bằng 90 độ), vẽ DI, AH, EK cùng vuông góc với BC. Chứng minh rằng:
a) BI=CK
EK=HC
b) BC = DI + EK
Cho tam giác ABC có góc B và góc C nhỏ hơn 90 độ. Vẽ ra phía ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân ABD và ACE ( trong đó góc ABD và góc ACE đều bằng 90 độ), vẽ DI, AH, EK cùng vuông góc với BC. Chứng minh rằng:
a) BI=CK
EK=HC
b) BC = DI + EK
cho \(\widehat{xOy},trên\) tia Ox lấy 3 điểm A,B,C sao cho OA=AB=BC.Qua A,B,C kẻ các đường thẳng song song với nhau,các đường thẳng này cắt tia Oy lần lượt tại M,N,E.CMR:OM=MN=NE
HELP ME
Cho \(\Delta\)ABC có (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC, trên tia AM lấy điểm D sao cho AM = MD.
a) Chứng minh \(\Delta\)AMB = \(\Delta\)DMC
b) Chứng minh AB // CD
c) Kẻ AI \(\perp\) BC tại K. Chứng minh: MI = MK
a)
Xét tam giác AMB và tam giác DMC có:
AM = DM (gt)
AMB = DMC (2 góc đối đỉnh)
MB = MC (M là trung điểm của BC)
=> Tam giác AMB = Tam giác DMC (c.g.c)
b)
=> ABM = DCM (2 góc tương ứng)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> AB // DC
c)
Xét tam giác IMA vuông tại I và tam giác KMD vuông tại K có:
IMA = KMD (2 góc đối đỉnh)
MA = MD (gt)
=> Tam giác IMA = Tam giác KMD (cạnh huyền - góc nhọn)
=> IM = KM (2 cạnh tương ứng)
Cho 2 đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn.
a) Chứng minh: AC=BD và AC//BD
b) Chứng minh: AD=BC và AD//BC
c) Gọi M là trung điểm của AC và N là trung điểm của BD. Chứng minh: 3 điểm M, O, N thẳng hàng.
Ta có hình vẽ:
a/ Xét tam giác OAC và tam giác OBD có:
OA = OB (GT)
góc AOC = góc BOD (đối đỉnh)
OC = OD (GT)
=> tam giác OAC = tam giác OBD (c.g.c)
=> AC = BD (2 cạnh tương ứng)
Ta có: tam giác OAC = tam giác OBD (đã chứng minh trên)
=> góc CAO = góc OBD (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này đang ở vị trí so le trong
=> AC // BD (đpcm)
b/ Xét tam giác OAD và tam giác OBC có:
OA = OB (GT)
góc AOD = góc BOC (đối đỉnh)
OC = OD (GT)
=> tam giác OAD = tam giác OBC (c.g.c)
=> AD = BC (2 cạnh tương ứng)
Ta có: tam giác OAD = tam giác OBC (đã chứng minh trên)
=> góc DAO = góc CBO (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này đang ở vị trí so le trong
=> AD // BC 9đpcm)
c/ Ta có: COM = DON (đối đỉnh)
Ta có: góc AOD + góc AOM + góc COM = 1800
=> góc AOD + góc AOM + góc DON = 1800
hay góc MON = 1800
hay M,O,N thẳng hàng
a) Xét ΔCAO và ΔDBO có:
OA=OB (gt)
\(\widehat{COA}=\widehat{DOB}\) (đối đỉnh)
OC=OD (gt)
=> ΔCAO=ΔDBO (c.g.c)
=> AC=BD (hai cạnh tương ứng)
Vì ΔCAO=ΔDBO
=> \(\widehat{OAC}=\widehat{OBD}\) mà hai góc ở vị trí so le trong nên
=> AC//BD. (đpcm)
b) Xét ΔAOD và ΔBOC có:
OA=OB (gt)
\(\widehat{AOD}=\widehat{BOC}\) (đối đỉnh)
OD=OC (gt)
=> ΔAOD=ΔBOC (c.g.c)
=> AD=BC (hai cạnh tương ứng)
Vì ΔAOD=ΔBOC
=> \(\widehat{OAD}=\widehat{OBC}\) mà hai góc ở vị trí so le trong nên
=> AD//BC (đpcm)
c) Ta có: \(\widehat{AOM}=\widehat{NOB}\) (đối đỉnh)
Mà ta có: \(\widehat{AOM}+\widehat{MOC}+\widehat{COB}=180^o\)
=> \(\widehat{MOC}+\widehat{COB}+\widehat{BON}=\widehat{MON}=180^o\)
Vậy ba điểm M,O,N thẳng hàng
Tam giác ABC cân tại C, \(\widehat{C}\) = 100 độ, BD là phân giác của góc B. Từ A kẻ Ax tại với AB một góc 30 độ. Tia Ax cắt BD tại M, BC tại E. BK là phân giác của góc CBD. BK cắt Ax tại N.
a, Tính \(\widehat{ACM}\)
b, So sánh MN và CE
Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA nhỏ hơn OB. Lấy các điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:
a) AD = BC
b) ΔEAB = ΔECD
c) OE là tia phân giác của góc xOy
Ta có hình vẽ:
a/ Xét tam giác OAD và tam giác OBC có:
OA = OC (GT)
\(\widehat{O}\): góc chung
OB = OD (GT)
=> tam giác OAD = tam giác OBC (c.g.c)
=> AD = BC (2 cạnh tương ứng)
b/ Ta có: \(\widehat{B}\)=\(\widehat{D}\) (vì tam giác OAD = tam giác OBC) (1)
Ta có: \(\begin{cases}OA=OC\\OB=OD\end{cases}\)\(\Rightarrow AB=CD\) (2)
Ta có: \(\widehat{OAD}\)=\(\widehat{OCB}\) (vì tam giác OAD = tam giác OBC) (*)
+)Ta có: \(\widehat{OAD}\)+\(\widehat{DAB}\)=1800 (**)
+) Ta có: \(\widehat{OCB}\)+\(\widehat{BCD}\)=1800 (***)
Từ (*),(**),(***) => \(\widehat{DAB}\)=\(\widehat{BCD}\) (3)
Từ (1),(2),(3) => tam giác EAB = tam giác ECD
c/ Xét tam giác OAE và tam giác OCE có:
OA = OC (GT)
AE = EC (vì tam giác EAB = tam giác ECD)
OE: cạnh chung
=> tam giác OAE = tam giác OCE (c.c.c)
=> \(\widehat{AOE}\)=\(\widehat{COE}\) (2 góc tương ứng)
=> OE là phân giác \(\widehat{xOy}\) (đpcm)
Cho tam giác ABC có AB = AC . Gọi D và E là hai điểm nằm trên BC sao cho BD = DE = EC .
a) Chứng minh góc EAB = góc DAC
b) Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE .
c) Giả sử góc DAE = 60 độ. Có nhận xét gì về các góc của tam giác AED .
Ta có :
\(BD=DE=EC\)
\(\Rightarrow BD+DE=EC+DE\)
\(\Rightarrow BE=DC\)
=> Ta c/m được \(\Delta EAB=\Delta DAC\left(C.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{EAB}=\widehat{DAC}\)
=> AD = AE
b)
Vì M là trung điểm của BC
\(\Rightarrow BM=CM\)
\(\Rightarrow BD+DM=ME+EC\)
Mà BD = EC
\(\Rightarrow DM=EM\)
=> \(\Rightarrow\Delta DAM=\Delta EAM\left(c.c.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\)
=> AM là tia phân giác của góc DAE
c)
Nếu \(\widehat{A}=60^0\)
Mà AD=AE
=> tam giác ADE đều
=> Các góc còn lại cũng bằng 600
Giải:
a) Ta có: \(BD=DE=EC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow BD+DE=EC+DE\)
\(\Rightarrow BE=CD\) (*)
Xét \(\Delta EAB,\Delta DAC\) có:
\(BE=CE\) ( theo (*) )
\(\widehat{B}=\widehat{C}\) ( do \(\Delta ABC\) cân tại A vì AB = AC )
\(AB=AC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta EAB=\Delta DAC\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{EAB}=\widehat{DAC}\) ( góc t/ứng )
b) Vì \(\Delta EAB=\Delta DAC\)
\(\Rightarrow AD=AE\) ( cạnh t/ứng )
\(\Rightarrow\Delta DAE\) cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) (**)
Xét \(\Delta DAM,\Delta EAM\) có:
\(MD=ME\left(=\frac{1}{2}DE\right)\)
\(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) ( theo (**) )
AM: cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta DAM=\Delta EAM\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\) ( góc t/ứng )
\(\Rightarrow\)AM là tia phân giác của \(\widehat{DAE}\)
c) Trong \(\Delta AED\) cân tại A có \(\widehat{DEA}=60^o\)
\(\Rightarrow\Delta AED\) là một tam giác đều
Vậy...
cho góc nhọn xOy trên Ox lấy điểm A , trên Oy lấy điểm B sao cho OA=OB . Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với Ox cắt Oy ở E . Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với Oy cắt Ox ở F. AE và BF cắt nhau tại I
a)chứng minh AE = BF
b) chứng minh tam giác AFI = tam giác BEI
c) chứng minh OI là tia phân giác của góc AOB
Ta có hình vẽ:
a/ Xét tam giác OAE và tam giác OBF có:
OA = OB (GT)
O: góc chung
\(\widehat{A}\)=\(\widehat{B}\)=900 (GT)
=> tam giác OAE = tam giác OBF (g.c.g)
=> AE = BF (2 góc tương ứng)
b/ Ta có: \(\widehat{E}\)=\(\widehat{F}\) (vì tam giác OAE = tam giác OBF)(1)
Ta có: \(\widehat{OAI}\)=\(\widehat{OBI}\)(GT) (*)
Mà \(\widehat{OAI}\)+\(\widehat{IAF}\)=1800 (kề bù) (**)
và \(\widehat{OBI}\)+\(\widehat{IBE}\)=1800 (kề bù) (***)
Từ (*),(**),(***) => \(\widehat{IAF}\)=\(\widehat{IBE}\) (2)
Ta có: AF = BE (3)
Từ (1),(2),(3) => tam giác AFI = tam giác BEI (g.c.g)
c/ Xét tam giác AIO và tam giác BIO có:
OI: cạnh chung
OA = OB (GT)
AI = BI (vì tam giác AFI = tam giác BEI)
=> tam giác AIO = tam giác BIO (c.c.c)
=> \(\widehat{AOI}\)=\(\widehat{BOI}\) (2 góc tương ứng)
=> OI là phân giác \(\widehat{AOB}\) (đpcm)
Cho góc xOy nhọn, Ot là tia phân giác của góc xOy. Trên tia Ot lấy H. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với Ot cắt Ox tại A, Oy tại B.
a/ Chứng minh tam giác AHO = tam giác BHO.
b/ Trên tia Ax lấy C, trên tia By lấy D sao cho AC = BD. Chứng minh AD = BC.
c/ CD cắt tia Ot tại K. Chứng minh AB // CD.
Help me, please!!!!!!!
Ta có hình vẽ:
a) Vì Ot là phân giác của góc xOy nên \(xOt=yOt=\frac{xOy}{2}\)
Xét Δ AHO và Δ BHO có:
AOH = BOH (cmt)
OH là cạnh chung
AHO = BHO = 90o
Do đó, Δ AHO = Δ BHO (g.c.g) (đpcm)
b) Δ AHO = Δ BHO (câu a)
=> OA = OB (2 cạnh tương ứng)
Gọi K' là giao điểm của AD và BC
Xét Δ AOK' và Δ BOK' có:
OA = OB (cmt)
AOK' = BOK' ( câu a)
OK' là cạnh chung
Do đó, Δ AOK' = Δ BOK' (c.g.c)
=> AK' = BK' (2 cạnh tương ứng); OAK' = OBK' (2 góc tương ứng)
Lại có: OAK' + K'AC = 180o (kề bù) (1)
OBK' + K'BD = 180o (kề bù) (2)
Từ (1) và (2) => K'AC = K'BD
Xét Δ K'AC và Δ K'BD có:
AC = BD (gt)
K'AC = K'BD (cmt)
AK' = BK' (cmt)
Do đó, Δ K'AC = Δ K'BD (c.g.c)
=> K'C = K'D (2 cạnh tương ứng)
Mà AK' = BK' (cmt) => AK' + K'D = BK' + K'C
=> AD = BC (đpcm)
c) Đầu tiên ta đi chứng minh 3 điểm O, H, K' thẳng hàng (bn tự chứng minh)
Δ AOK' = BOK' (câu b)
=> AK'O = BK'O (2 góc tương ứng) (*)
Δ K'AC = Δ K'BD (câu b)
=> AK'C = BK'D (2 góc tương ứng) (**)
Ta có: AK'O + AK'C + CK'K = 180o
BK'O + BK'D + DK'K = 180o
Kết hợp với (*) và (**) => CK'K = DK'K
Δ OK'C và Δ OK'D có:
OK' là cạnh chung
COK' = DOK' (câu a)
OC = OD (vì OA = OB; AC = BD)
Do đó, Δ OK'C = Δ OK'D (c.g.c)
=> K'C = K'D (2 cạnh tương ứng)
Xét Δ CK'K và Δ DK'K có:
CK' = DK' (cmt)
CK'K = DK'K (cmt)
K'K là cạnh chung
Do đó, Δ CK'K = Δ DK'K (c.g.c)
=> CKK' = DKK' (2 góc tương ứng)
Mà CKK' + DKK' = 180o (kề bù) nên CKK' = DKK' = 90o
=> \(KK'\perp CD\)
Mà \(KK'\perp AB\) do \(Ot\perp AB\) nên AB // CD (đpcm)
thẳng AB cắt Ot tại M. Chứng minh a) OAM = OBM; b) AM = BM; OM AB c) OM là đường trung trực của AB d) Trên tia Ot lấy điểm N . Chứng minh NA = NB Bài 2. Cho ABC vuông tại A, trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = CA, từ K kẻ KE vuông góc với đường thẳng AC. Chứng mỉnhằng: a) AB // KE b) ABC = KEC ; BC = CE Bài 3. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm A, C. Trên tia Oy lấy hai điểm B,D sao cho OA = OB, AC = BD. a) Chứng minh: AD = BC. b) Gọi E là giao điểm AD và BC. Chứng minh: EAC = EBD c) Chứng minh: OE là phân giác của góc xOy, OE CD Bài 4. Cho ABC coù BÂ=900, gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho ME = MA. a) Tính BCE b) Chứng minh BE // AC. Bài 5. Cho ABC, lấy điểm D thuộc cạnh BC ( D không trùng với B,C). Gọi Mlà trung điểm của AD. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME= MB, trên tia đối của tia MC lấy điểm F sao cho MF= MC. Chứng minh rằng: a) AME = DMB; AE // BC b) Ba điểm E, A, F thẳng hàng c) BF // CE Bài 6: Cho có B = C , kẻ AH BC, H BC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh: a) AB = AC b) ABD = ACE c) ACD = ABE d) AH là tia phân giác của góc DAE e) Kẻ BK AD, CI AE. Chứng minh ba đường thẳng AH, BK, CI cùng đi qua một điểm
cho \(\Delta\) ABC có AB<AC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD=AB. Gọi M là trung điểm của đoạn BD.
a) Chứng minh \(\Delta\) ABM = \(\Delta\) ADM.
b) tia AM cắt BC tại K. Chứng minh \(\Delta\) BKD cân
c) trên tia đối của tia BA lấy đêm E sao cho BE= DC. Chứng minh rằng 3 điểm E,K,D thẳng hàng.
d) Chứng minh AK vuông góc với EC
a) Xét \(\Delta\)ABM và \(\Delta\)ADM có:
AB = AD (gt)
AM chung
BM = DM (suy từ gt)
=> \(\Delta\)ABM = \(\Delta\)ADM (c.c.c)
b) Vì \(\Delta\)ABM = \(\Delta\)ADM (câu a)
=> \(\widehat{BAM}\) = \(\widehat{DAM}\) (2 góc t/ư)
hay \(\widehat{BAK}\) = \(\widehat{DAK}\)
Xét \(\Delta\)ABK và \(\Delta\)ADK có:
AB = AD (gt)
\(\widehat{BAK}\) = \(\widehat{DAK}\) (c/m trên)
AK chung
=> \(\Delta\)ABK = \(\Delta\)ADK (c.g.c)
=> BK = DK (2 cạnh tương ứng)
Do đó \(\Delta\)BKD cân tại K
c) Do \(\Delta\)ABK = \(\Delta\)ADK (câu b)
nên \(\widehat{ABK}\) = \(\widehat{ADK}\) (2 góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat{ABK}\) + \(\widehat{EBK}\) = 180o (kề bù)
\(\widehat{ADK}\) + \(\widehat{CDK}\) = 180o (kề bù)
mà \(\widehat{ABK}\) = \(\widehat{ADK}\) nên \(\widehat{EBK}\) = \(\widehat{CDK}\)
Xét \(\Delta\)EBK và \(\Delta\)CDK có:
EB = CD (gt)
\(\widehat{EBK}\) = \(\widehat{CDK}\) (c/m trên)
BK = DK (c/m trên)
=> \(\Delta\)EBK = \(\Delta\)CDK (c.g.c)
=> \(\widehat{BKE}\) = \(\widehat{DKC}\) (2 góc tương ứng) (1)
mà \(\widehat{BKD}\) + \(\widehat{DKC}\) = 180o (2)
Thay (1) vào (20 ta được:
\(\widehat{BKE}\) + \(\widehat{DKC}\) = 180o
mà 2 góc này kề nhau nên E, K, D thẳng hàng
d) Gọi giao điểm của AK và EC là F
Vì \(\Delta\)ABK = \(\Delta\)ADK (c/m trên)
nên \(\widehat{BAK}\) = \(\widehat{DAK}\) (2 góc tương ứng)
hay \(\widehat{EAF}\) = \(\widehat{CAF}\)
Do \(\Delta\)EBK = \(\Delta\)CDK nên EB = CD ( 2 cạnh tương ứng)
Lại có: AB + EB = AE
AD + CD = AC
mà AB = AD; EB = CD nên AE = AC
Xét \(\Delta\)EAF và \(\Delta\)CAF có:
EA = CA (c/m trên)
\(\widehat{EAF}\) = \(\widehat{CAF}\) (c/m trên)
AF chung
=> \(\Delta\)EAF = \(\Delta\)CAF (c.g.c)
=> \(\widehat{AFE}\) = \(\widehat{AFC}\) (2 góc tương ứng)
mà \(\widehat{AFE}\) + \(\widehat{AFC}\) = 180o (kề bù)
=> \(\widehat{AFE}\) = \(\widehat{AFC}\) = \(\frac{180^o}{2}\) = 90o
Do đó AK \(\perp\) EC.
a) Xét tam giác ABM và tam giác ADM có:
AM chung
AB= AD (gt)
BM= MD (M là trung điểm của đoạn BD)
<=> \(\Delta ABM=\Delta ADM\left(c.c.c\right)\)
b) Xét tam giác BAK và tam giác DAK có:
AB= AD
Góc BAK bằng góc DAK
AK chung
<=> \(\Delta BAK=\Delta DAKl\left(c.g.c\right)\)
<=> BK=KD (hai cạnh tương ứng)
<=> Tam giác BKD cân tại K