Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng

a) một nghiệm phan biệt á ?? =))

(nếu là pt có 2 n0 phân biệt) :

\(\Delta=4\left(m-1\right)^2-2\left(2m-7\right)=4m^2-16m+24\)

pt có 2 n0 pb \(\Leftrightarrow\Delta>0\Leftrightarrow m\in R\)

=> pt luôn có 2 n0 pb

b) theo định lí Viet(tell- hãy nói theo cách của bạn):

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-5\\x_1x_2=2\left(m-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(x_1^2-2mx_1+2m-1\right)\left(x_2^2-2mx_2+2m-1\right)< 0\)

\(\left(x_1x_2\right)^2-2mx_1x_2\left(x_1+x_2\right)+\left(2m-1\right)\left(x_1+x_2\right)^2-2\left(2m-1\right)x_1x_2+4m^2x_1x_2-4m^2\left(x_1+x_2\right)+2m\left(x_1+x_2\right)+4m^2-4m+1< 0\)

thay vào rồi xử tiếp

Sửa đề: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\left(2m-5\right)\)

\(=4m^2-8m+4-8m+20\)

\(=4m^2-16m+24\)

\(=4m^2-16m+16+8\)

\(=\left(2m-4\right)^2+8>0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

\(x^2+2\left(m+1\right)x+m^2=0\)

\(\Delta=\left[2\left(m+1\right)\right]^2-4m^2=4m+1\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\Delta>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{4}\)

Theo giả thiết thì \(x=-2\) là một nghiệm của phương trình nên

\(\left(-2\right)^2+2\left(m+1\right)\left(-2\right)+m^2=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(n\right)\\m=4\left(n\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy . . . >///<

a) x₁+x₂=2(1+2m)=2+4m

x₁.x₂=3+4m

\(\rightarrow\)x₁.x₂=x₁+x₂+1 không phụ thuộc m

b) Phương trình có 2 nghiệm khi \(\Delta'\ge0\)

\(\rightarrow\)(1+2m)²-3-4m\(\ge\)0

2m²-2\(\ge\)0

m²-1\(\ge\)0

-1\(\le\)m\(\le\)1

c)

ns rỏ hơn ik

Theo đề, ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy: Phương trình cần tìm có dạng là: \(x^2-x-2=0\)

theo hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+1_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-4m}{1}=-4m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{4m-2}{1}=4m-2\end{matrix}\right.\)

ta có : \(x_1x_2+x_1+x_2=4m-2-4m=-2\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2+x_1+x_2=-2\Leftrightarrow x_1x_2+x_1+x_2+2=0\)

vậy hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m là \(x_1x_2+x_1+x_2+2=0\)