Hệ thức Vi-et và ứng dụng

Duy Anh
Thiếu tá -
17 tháng 11 2020 lúc 21:44

Câu 1: \(x^2-mx+\left(m-2\right)^2=0\)

Ta có: \(\Delta=-3m^2+16m-16\)

Để phương trình có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\) \(\Leftrightarrow\frac{4}{3}\le m\le4\)

Theo Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1\cdot x_2=m^2-4m+4\end{matrix}\right.\)

Mặt khác: \(A=x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Rightarrow A=m+2m^2-8m+8=2m^2-7m+8\) \(=2\left(m^2-\frac{7}{2}m+4\right)=2\left(m^2-2\cdot m\cdot\frac{7}{4}+\frac{49}{16}+\frac{15}{16}\right)\) \(=2\left(m-\frac{7}{4}\right)^2+\frac{15}{8}\ge\frac{15}{8}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow m-\frac{7}{4}=0\) \(\Leftrightarrow m=\frac{7}{4}\left(TM\right)\)

Vậy \(Min_A=\frac{15}{8}\) khi \(m=\frac{7}{4}\)

Bình luận (0)
Duy Anh
Thiếu tá -
17 tháng 11 2020 lúc 21:56

Câu 2: \(mx^2+2\left(m-2\right)x+m-3=0\)

Ta có: \(\Delta'=4-m\)

Để phương trình có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow m\le4\)

Theo Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{4-2m}{m}\\x_1\cdot x_2=\frac{m-3}{m}\end{matrix}\right.\) \(\left(m\ne0\right)\)

Mặt khác: \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=3\) \(\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=3\) \(\Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=3\) \(\left(m\ne3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2=0\)

\(\Rightarrow\frac{16-16m+4m^2}{m^2}-\frac{5m^2-15m}{m^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{16-m-m^2}{m}=0\) \(\Leftrightarrow16-m-m^2=0\) \(\Leftrightarrow m=\frac{-1\pm\sqrt{65}}{2}\left(TM\right)\)

Vậy \(m=\frac{-1\pm\sqrt{65}}{2}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
9 tháng 11 2020 lúc 22:06

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=36-2\left(6m-1\right)>0\\x_1+x_2=\frac{12}{4}>0\\x_1x_2=\frac{6m-1}{2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \frac{19}{6}\\m>\frac{1}{6}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{1}{6}< m< \frac{19}{6}\)

Bình luận (0)
Duy Anh
Thiếu tá -
28 tháng 10 2020 lúc 21:07

PT: \(x^2-2mx+m^2-m+1=0\)

Ta có: \(\Delta'=m-1\)

Để phương trình có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\) \(\Leftrightarrow m\ge1\)

Theo Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1\cdot x_2=m^2-m+1\end{matrix}\right.\)

\(P=x_1^2+x^2_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(\Rightarrow P=2m^2+2m-2\) \(=2\left(m^2+m-1\right)=2\left(m^2-2m+1+3m-2\right)\) \(=2\left(m-1\right)^2+6m-4\ge6m-4\ge2\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow m-1=0\Leftrightarrow m=1\) (TM)

Vậy \(P_{Min}=2\) khi \(m=1\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
23 tháng 9 2020 lúc 17:18

\(\Delta=\left(3m+1\right)^2-12>0\Leftrightarrow9m^2+6m-11>0\) (1)

Khi đó theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3m+1\\x_1x_2=3\end{matrix}\right.\)

Kết hợp Viet và điều kiện đề bài ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x_1+x_2=5\\x_1+x_2=3m+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=4-3m\\x_2=6m-3\end{matrix}\right.\)

\(x_1x_2=3\Leftrightarrow\left(4-3m\right)\left(6m-3\right)=3\)

\(\Leftrightarrow6m^2-11m+5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=\frac{5}{6}\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1) kiểm tra thì đều thỏa mãn

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
31 tháng 8 2020 lúc 21:36

Bạn xem lại đề bài

\(2m^2-2mx....\) có gì đó sai sai

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN