Bài 8: Đối xứng tâm

Xét tứ giác MNBC có 

A là trung điểm của CN

A là trung điểm của MB

Do đó: MNBC là hình bình hành

a) Do P là trung điểm AB (gt)

\(\Rightarrow AP=BP=\dfrac{1}{2}AB=3\left(cm\right)\)

Do Q là trung điểm CD (gt)

\(\Rightarrow DQ=CQ=\dfrac{1}{2}CD=3\left(cm\right)\)

Mà AB = CD (ABCD là hình bình hành)

\(\Rightarrow BP=DQ=\dfrac{1}{2}AB=3\) (cm)

Xét tứ giác BPDQ có:

BP = DQ (cmt)

BP // DQ (do AB // CD)

\(\Rightarrow BPDQ\) là hình bình hành (tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

\(\Rightarrow DP=BQ\) (hai cạnh đối của hình bình hành)

b) Do ABCD là hình bình hành nên ABCD cũng là hình thang

Do P là trung điểm AB (gt)

Q là trung điểm CD (gt)

\(\Rightarrow PQ\) là đường trung bình của hình thang ABCD

\(\Rightarrow PQ=\dfrac{1}{2}\left(AD+BC\right)=\dfrac{1}{2}\left(3+3\right)=3\left(cm\right)\)

Xét tứ giác APQD có:

AP = PQ = QD = DA = 3 (cm)

\(\Rightarrow APQD\) là hình thoi (tứ giác có bốn cạnh bằng nhau)

Mà AQ là đường chéo của hình thoi APDQ

\(\Rightarrow AQ\) là phân giác của \(\widehat{DAP}\)

c) Gọi E là trung điểm PQ    (1)

Tứ giác APQD là hình thoi (cmt)

AQ, DP là hai đường chéo của hình thoi APQD

\(\Rightarrow M\) là trung điểm AQ và DP

Xét \(\Delta APQ\) có:

M là trung điểm AQ (cmt)

E là trung điểm PQ

\(\Rightarrow\) ME là đường trung bình của \(\Delta APQ\)

\(\Rightarrow\) ME // AP

\(\Rightarrow\) ME // AB // CD

Xét \(\Delta BDP\) có

ME // BP (do ME // AB)

M là trung điểm DP (cmt)

\(\Rightarrow E\) là trung điểm BD (định lý 1)    (2)

Xét \(\Delta ACQ\) có:

ME // CQ (do ME // CD)

M là trung điểm AQ (cmt)

\(\Rightarrow E\) là trung điểm AC (định lý 1)   (3)

Xét tứ giác BCQP có:

BC = CQ = QP = PB = 3 (cm)

\(\Rightarrow BCQP\) là hình thoi

Mà CP, BQ là đường chéo của hình thoi BCQP

\(\Rightarrow\) N là trung điểm của CP, BQ

Xét \(\Delta BPQ\) có:

N là trung điểm BQ (cmt)

E là trung điểm PQ (theo cách gọi)

\(\Rightarrow\) NE là đường trung bình của \(\Delta BPQ\)

\(\Rightarrow\) NE // BP

\(\Rightarrow\) NE // AB

Mà ME // AB (cmt)

\(\Rightarrow\) E, M, N thẳng hàng (theo tiên đề Ơclit) (4)

Từ (1), (2), (3), (4) \(\Rightarrow\) AC, DB, PQ, MN cùng đi qua điểm E

Hình đâu?

Xét tứ giác AFDE có

AF//DE

AE//DF

Do đó: AFDE là hình bình hành

Suy ra: hai đường chéo AD và FE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

hay E và F đối xứng nhau qua I

a, Vì \(\widehat{KMH}=\widehat{KHD}=\widehat{KMD}=90^0\) nên MHDK là hcn

b, Vì \(PD=DN;DH//PM\left(\perp MN\right)\) nên \(MH=HN\)

Vì \(PD=DN;DK//MN\left(\perp PM\right)\) nên \(PK=KM\)

Tứ giác MDNE có H là trung điểm MN;DE và \(MN\perp DE\) tại H nên là hthoi

Tứ giác MDPF có K là trung điểm PM;DF và \(MP\perp DF\) tại K nên là hthoi

c, Vì MDNE và MDPF là hình thoi nên MF//PD;ME//DN

Mà PD trùng PN nên ME trùng MF hay M;F;E thẳng hàng

Vì MDNE và MDPF là hình thoi nên \(MF=PD;ME=DN\)

Mà \(PD=DN\) nên \(MF=ME\)

Vậy E đx F qua M