Chương I - Hệ thức lượng trong tam giác vuông

a) Xét tam giác ABC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2+AC^2=9^2+12^2=225\\BC^2=15^2=225\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\)

=> Tam giác ABC vuông tại A(Pytago đảo)

b) Áp dụng tslg trong tam giác ABC vuông tại A:

\(\left\{{}\begin{matrix}sinC=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}\\sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C}\approx37^0\\\widehat{B}\approx53^0\end{matrix}\right.\)

c) Áp dụng HTL:

\(AH.BC=AB.AC\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{9.12}{15}=7,2\left(cm\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH.BC\\AC^2=CH.BC\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{9^2}{15}=5,4\left(cm\right)\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{12^2}{15}=9,6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét tam giác ABC vuông tại A có Ah đường cao

\(\Rightarrow AH.BC=AB.AC\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{9.12}{15}=7,2\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AB^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{9^2}{15}=5,4\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HC=BC-BH=15-5,4=9,6\left(cm\right)\)

a) taco BC=15\(\Rightarrow BC^2=225\)

\(AB=9\rightarrow AB^2=81\)

\(AC=12\Rightarrow AC^2=144\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=81+144=225\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow\Delta ABCvuôngtạiA\)

b)\(\text{Gọi DE⊥AB}\)\(\text{→DE//AC}\)

Vì AD là tia phân giác của tam giác ABC

\(\Rightarrow BAD=DAC=\dfrac{1}{2}BAC=45^0\)

\(\Rightarrow EAD=45^0\)

\(\Rightarrow TamgiácAEDvuôngcântạiE\)

\(\rightarrow AD=AE\sqrt{2}\)

Mak AD là tia phân giác

\(\dfrac{\Rightarrow DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{3}\)

Mak\(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{EB}{AE}\left(địnhlýTalet\right)\)

\(\dfrac{\Rightarrow EB}{AE}=\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AE+EB}=\dfrac{3}{7}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{3}{7}\Rightarrow AE=\dfrac{3}{7}.AB=\dfrac{12}{7}\)

\(\Rightarrow AD=AE.\sqrt{2}=\dfrac{12}{7}.\sqrt{2}=\dfrac{12\sqrt{2}}{7}\approx2,42\)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH đường cao

\(\Rightarrow AC^2=HC.BC\)

\(\Rightarrow BC=\dfrac{AC^2}{HC}=\dfrac{3^2}{1,8}=5\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HC=BC-HC=5-1,8=3,2\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AH^2=BH.HC\)

\(\Rightarrow AH^2=1,8.3,2=5,76\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow AH=\sqrt{5,76}=2,4\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AB.AC=AH.BC\)

\(\Leftrightarrow AB=\dfrac{AH.BC}{AC}=\dfrac{2,4.5}{3}=4\left(cm\right)\)

A = -1

Xét tam giác ADC có:

\(\widehat{ACB}=\widehat{ADC}+\widehat{DAC}\)(tính chất góc ngoài)

\(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{ACB}-\widehat{ACB}=60^0-30^0=30^0\)

\(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{ADC}=30^0\)

=> Tam giác ADC cân tại C

=> AC=DC=20m

Áp dụng tslg trong tam giác ABC vuông tại B:

\(AB=sinC.AC=sin60^0.20=10\sqrt{3}\left(m\right)\)

\(BC=cosC.AC=cos60^0.20=10\left(m\right)\)

\(DB\cdot DA+EA\cdot EC\)

\(=HD^2+HE^2\)

\(=DE^2=AH^2\)

Lời giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông với tam giác $ABH$, đường cao $HD$ và $ACH$, đường cao $HE$ ta có:

$DB.DA=DH^2$

$EC.EA=HE^2$

$\Rightarrow DB.DA+EC.EA=HD^2+HE^2$

Mặt khác, vì tứ giác $ADHE$ có $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}$ nên $ADHE$ là hình chữ nhật. Do đó: 

$DB.DA+EC.EA=HD^2+HE^2=DE^2=AH^2$ 

Ta có đpcm.

Hình vẽ: