Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-4=a\\y-3=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2=5\)

\(Q=\sqrt{\left(a+5\right)^2+b^2}+\sqrt{\left(a+3\right)^2+\left(b+4\right)^2}\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{2\left[\left(a+5\right)^2+b^2+\left(a+3\right)^2+\left(b+4\right)^2\right]}\) (Bunhiacopxki)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+8a+b^2+4b+25\right)}\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+2.4a+b^2+2.2b+25\right)}\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+2\left(a^2+4\right)+b^2+2\left(b^2+1\right)+25\right)}\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(3a^2+3b^2+35\right)}\le\sqrt{4\left(3.5+35\right)}=10\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=4\end{matrix}\right.\)

=>x>=-11/2 và 4x=4x^2+44x+121

=>4x^2+40x+121=0 và x>=-11/2

=>\(x\in\varnothing\)

Theo đề, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-6}{2a}=-4\\\left|x_2-x_1\right|=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{4}\\\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{4}x^2+6x-c=0\\\sqrt{\left(-6:\dfrac{3}{4}\right)^2-4\cdot\dfrac{-c}{\dfrac{3}{4}}}=4\end{matrix}\right.\)

=>căn 64+16/3c=4

=>16/3c+64=16

=>16/3c=-48

=>c=-9

Hàm số xác định \(\Leftrightarrow\left(m-2\right)x^2-2\left(m-3\right)x+m-1\ge0\)

Đặt \(f\left(x\right)=\left(m-2\right)x^2-2\left(m-3\right)x+m-1\ge0\)

\(f\left(x\right)\ge0,\forall x\in R\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2>0\\\left[-2\left(m-3\right)\right]^2-4\left(m-2\right)\left(m-1\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>2\\4\left(m^2-6m+9\right)-4\left(m^2-3m+2\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow4m^2-24m+36-4m^2+12m-8\le0\)

\(\Leftrightarrow-12m+28\le0\)

\(\Leftrightarrow m\le\dfrac{7}{3}\)

\(KL:m\in(2;\dfrac{7}{3}]\)

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{b}{2a}=-2\\4a-2b+c=4\\c=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4a\\4a-2.4a+6=4\\c=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4a=2\\a=\dfrac{1}{2}\\c=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}x^2+2x+6\)

b.

\(y_{min}=y_{CT}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{4.1.1-\left(-4\right)^2}{4.1}=-3\)

Từ điều kiện đề bài: (hiển nhiên a khác 0):

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4ac-b^2}{4a}=-1\\a-b+c=7\\c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-b^2=-4a\\a-b=6\\c=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-6\right)^2-8a=0\\b=a-6\\c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\left\{2;18\right\}\\b=a-6\\c=1\end{matrix}\right.\)

Có 2 parabol thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y=2x^2-4x+1\\y=18x^2+12x+1\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{-1}{x^2-3x-4}< 0\Leftrightarrow x^2-3x-4>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>4\\x< -1\end{matrix}\right.\) (C)

Để tập nghiệm S thỏa bất phương trình thì:  \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\ne0\\x^2-3x-4>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne4\\x\ne-1\\x< -1\\4< x\end{matrix}\right.\)

⇒ Đáp án:  C

Đặt \(\sqrt{x^2-3x+3}=t>0\Rightarrow x^2-3x+6=t^2+3\)

Pt trở thành: \(t+\sqrt{t^2+3}=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{t^2+3}=3-t\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3-t\ge0\\t^2+3=\left(3-t\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\le3\\-6=-6t\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow t=1\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2-3x+3}=1\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

1: =>2x^2-7x-11=x^2-5x+4

=>x^2-2x-15=0

=>(x-5)(x+3)=0

=>x=5 hoặc x=-3

2: =>x>=1 và 25-x^2=x^2-2x+1

=>x^2-2x+1-25+x^2=0 và x>=1

=>2x^2-2x-24=0 và x>=1

=>x=4

1.

Bình phương hai vế pt đã cho ta được:

\(x^2-5x+4=2x^2-7x-11\)

\(\Rightarrow x^2-2x-15=0\)

\(\Rightarrow x=5\) hoặc \(x=-3\)

Thay lần lượt hai giá trị trên vào pt đã cho ta thấy đều thỏa mãn

Vậy nghiệm của pt là \(S=\left\{-3;5\right\}\)

2.

Bình phương 2 vế pt đã cho:

\(25-x^2=\left(x-1\right)^2\)

\(\Rightarrow25-x^2=x^2-2x-1\)

\(\Rightarrow2x^2-2x-24=0\)

\(\Rightarrow x=4\) hoặc \(x=-3\)

Lần lượt thay các giá trị trên vào pt đã cho ta thấy chỉ có \(x=4\) thỏa mãn

Vậy nghiệm của pt đã cho là \(S=\left\{4\right\}\)