Chứng minh vectoAB + vectoCD=vectoAD - vectoBC
Chứng minh vectoAB + vectoCD=vectoAD - vectoBC
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}\)
Do đó: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}\)
=>\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}\)
Câu 1:
\(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}\)
\(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CM}\)
=> M là điểm tứ tư của h.b.b ABCM
Câu 2:
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}\)
\(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
=> M trùng C
giúp mình với các thần đồng !!
Cho G là trọng tâm tam giác ABC. CM:
a) vecto GA + vecto GB + vecto GC= vecto 0
b) vecto MA + vecto MB + vecto MC= 3 vecto MG ( với mọi M)
a: Gọi M là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
G là trọng tâm
M là trung điểm của AB
Do đó: CG=2/3CM
=>CG=2GM
=>\(\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{GM}\)
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)
\(=2\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GC}\)
\(=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
b: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)
\(=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\)
\(=3\cdot\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)
\(=3\cdot\overrightarrow{MG}\)
a: \(c=\overrightarrow{a}\cdot k+\overrightarrow{b}\cdot m\)
=>\(c=\left(-2k+4m;3k+m\right)\)
\(\overrightarrow{c}\perp\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{c}=\left(-2k+4m;3k+m\right);\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(2;4\right)\)
Do đó: \(2\left(-2k+4m\right)+4\left(3k+m\right)=0\)
=>\(-4k+8m+12k+4m=0\)
=>8k+12m=0
=>2k+3m=0
=>\(k=-\dfrac{3m}{2}\)
b: Gọi tọa độ của vecto d là (x,y)
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}=4\)
=>\(-2x+3y=4\)(1)
\(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}=-2\)
=>\(4x+y=-2\)(2)
Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}-2x+3y=4\\4x+y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4x+6y=8\\4x+y=-2\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}7y=6\\4x+y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{6}{7}\\4x=-2-y=-\dfrac{20}{7}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{5}{7}\\y=\dfrac{6}{7}\end{matrix}\right.\)
\(A\left(4\sqrt[]{3};-1\right);B\left(0;3\right);C\left(8\sqrt[]{3};3\right)\)
a) Gọi \(D\left(x;y\right)\)
Để ABCD là hình bình hành
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\\\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\end{matrix}\right.\left(1\right)\)
mà \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-4\sqrt[]{3};4\right)\\\overrightarrow{DC}=\left(8\sqrt[]{3}-x;3-y\right)\\\overrightarrow{AD}=\left(x-4\sqrt[]{3};y+1\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(8\sqrt[]{3};0\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x-8\sqrt[]{3}}{4\sqrt[]{3}}=\dfrac{3-y}{4}\\\dfrac{x-4\sqrt[]{3}}{8\sqrt[]{3}}=\dfrac{y+1}{0}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x=44\sqrt[]{3}-4\sqrt[]{3}.y\\8\sqrt[]{3}\left(y+1\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=11\sqrt[]{3}-\sqrt[]{3}.\left(-1\right)=12\sqrt[]{3}\\y=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow D\left(12\sqrt[]{3};-1\right)\)
b) \(\overrightarrow{AD}=\left(8\sqrt[]{3};0\right)\)
\(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}=\left(-96;0\right)\)
\(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\left(192;0\right)\)
Lời giải:
a. Ta có:
\(\overrightarrow{AB}=(1,3), \overrightarrow{AC}=(9, -3)\)
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1.9+3(-3)=0$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$
$\Rightarrow ABC$ là tam giác vuông tại $A$.
b.
\(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=(-1, -3).(8, -6)=(-1).8+(-3)(-6)=10\)
Theo công thức cos 2 vecto:
\(\cos B=\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{10}{\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}.\sqrt{8^2+(-6)^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)
a: \(AB=\sqrt{\left(2-1\right)^2+\left(5-3\right)^2}=\sqrt{5}\)
\(AC=\sqrt{\left(4-1\right)^2+\left(-1-3\right)^2}=5\)
\(BC=\sqrt{\left(4-2\right)^2+\left(-1-5\right)^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}\)
\(C=\sqrt{5}+5+2\sqrt{10}\)
b: Tọa độ trung điểm của AB là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+2}{2}=\dfrac{3}{2}\\y=\dfrac{3+5}{2}=4\end{matrix}\right.\)
Tọa độ trung điểm của AC là;
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+4}{2}=\dfrac{5}{2}\\y=\dfrac{3-1}{2}=1\end{matrix}\right.\)
c: tọa độ trọng tâm G là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+2+4}{3}=\dfrac{7}{3}\\y=\dfrac{3+5-1}{3}=\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)
d: ABCD là hình bình hành
=>vecto AB=vecto DC
vecto AB=(1;2)
vecto DC=(4-x;-1-y)
vecto AB=vecto DC
=>4-x=1 và -1-y=2
=>x=3 và y=-1-2=-3
a: \(AB=\sqrt{\left(2-4\right)^2+\left(4-1\right)^2}=\sqrt{13}\)
\(AC=\sqrt{\left(2-4\right)^2+\left(-2-1\right)^2}=\sqrt{13}\)
\(BC=\sqrt{\left(2-2\right)^2+\left(-2-4\right)^2}=6\)
\(C=\sqrt{13}+\sqrt{13}+6=6+2\sqrt{13}\)
b: ABCD là hình bình hành
=>vecto AB=vecto DC
=>2-x=2-4=-2 và -2-y=4-1=3
=>x=4 và y=-5
c: Tọa độ G là;
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4+2+2}{3}=\dfrac{8}{3}\\y=\dfrac{1+4-2}{3}=1\end{matrix}\right.\)
d:
vecto AH=(x-4;y-1); vecto BC=(0;-6)
vecto BH=(x-2;y-4); vecto AC=(-2;-3)
H là trực tâm
=>vecto AH*vecto BC=0 và vecto BH*vecto AC=0
=>(x-4)*0+(y-1)*(-6)=0 và (x-2)*(-2)+(y-4)*(-3)=0
=>y-1=0 và -2x+4-3y+12=0
=>y=1 và -2x-3y+16=0
=>y=1 và -2x=3y-16=-13
=>x=13/2 và y=1
e) Gọi \(I\left(x_I;y_I\right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AI^2=BI^2\\AI^2=CI^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_I-4\right)^2+\left(y_I-1\right)^2=\left(x_I-2\right)^2+\left(y_I-4\right)^2\\\left(x_I-4\right)^2+\left(y_I-1\right)^2=\left(x_I-2\right)^2+\left(y_I+2\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2_I-8x_I+16+y^2_I-2y_I+1=x^2_I-4x_I+4+y^2_I-8y_I+16\\x^2_I-8x_I+16+y^2_I-2y_I+1=x^2_I-4x_I+4+y^2_I-4y_I+4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x_I-6y_I=-3\\4x_I-2y_I=-9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4y_I=-6\\4x_I-2y_I=-9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=-3\\y_I=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(-3;-\dfrac{3}{2}\right)\)
a: \(\overrightarrow{AB}=\left(3;0\right);\overrightarrow{AC}=\left(0;-4\right)\)
Vì 0*0<>3*(-4)
nên A,B,C không thẳng hàng
=>Tồn tại tam giác ABC
b; \(AB=\sqrt{\left(2+1\right)^2+\left(1-1\right)^2}=3\)
\(AC=\sqrt{\left(-4\right)^2}=4\)
\(BC=\sqrt{\left(-1-2\right)^2+\left(-3-1\right)^2}=5\)
C=3+4+5=12
c: tọa độ G là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1+2-1}{3}=0\\y=\dfrac{1+1-3}{3}=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
d: ABCD là hình bình hành
=>vecto AB=vecto DC
=>-1-x=3 và -3-y=0
=>x=-4 và y=-3
e: M thuộc Ox nên M(x;0)
\(MA^2=\left(x+1\right)^2+\left(0-1\right)^2=\left(x+1\right)^2+1\)
\(MB^2=\left(x-2\right)^2+\left(0-1\right)^2=\left(x-2\right)^2+1\)
M cách đều A,B
=>MA=MB
=>(x+1)^2+1=(x-2)^2+1
=>x^2+2x+1=x^2-4x+4
=>2x+1=-4x+4
=>6x=3
=>x=1/2
=>M(1/2;0)
f: N thuộc Oy nên N(0;x)
\(NB^2=\left(2-0\right)^2+\left(1-y\right)^2=\left(y-1\right)^2+4\)
\(NC^2=\left(0+1\right)^2+\left(y+3\right)^2=\left(y+3\right)^2+1\)
N cách đều B và C nên NB^2=NC^2
=>(y-1)^2+4=(y+3)^2+1
=>y^2-2y+1+4=y^2+6y+9+1
=>-2y+5=6y+10
=>-8y=5
=>y=-5/8