Chương 1: VECTƠ

\(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BA}\)(2)

\(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{CD}\)(1)

Vì ABCD là hình vuông nên \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MC}\)

=>\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\)

\(A\left(4\sqrt[]{3};-1\right);B\left(0;3\right);C\left(8\sqrt[]{3};3\right)\)

a) Gọi \(D\left(x;y\right)\)

Để ABCD là hình bình hành

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\\\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\end{matrix}\right.\left(1\right)\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-4\sqrt[]{3};4\right)\\\overrightarrow{DC}=\left(8\sqrt[]{3}-x;3-y\right)\\\overrightarrow{AD}=\left(x-4\sqrt[]{3};y+1\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(8\sqrt[]{3};0\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x-8\sqrt[]{3}}{4\sqrt[]{3}}=\dfrac{3-y}{4}\\\dfrac{x-4\sqrt[]{3}}{8\sqrt[]{3}}=\dfrac{y+1}{0}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x=44\sqrt[]{3}-4\sqrt[]{3}.y\\8\sqrt[]{3}\left(y+1\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=11\sqrt[]{3}-\sqrt[]{3}.\left(-1\right)=12\sqrt[]{3}\\y=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow D\left(12\sqrt[]{3};-1\right)\)

b) \(\overrightarrow{AD}=\left(8\sqrt[]{3};0\right)\)

\(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}=\left(-96;0\right)\)

\(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\left(192;0\right)\)

Vì đẳng thức đã cho thỏa mãn với mọi M

Xét trường hợp M trùng K

\(\Rightarrow\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}+3\overrightarrow{KD}=x.\overrightarrow{KK}=\overrightarrow{0}\)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow3\left(\overrightarrow{KG}+\overrightarrow{KD}\right)=\overrightarrow{0}\)

=> K là trung điểm DG

Mà: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MD}=x.\overrightarrow{MK}\)

\(\Rightarrow3\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MD}\right)=x.\overrightarrow{MK}\)

\(\Leftrightarrow6.\overrightarrow{MK}=x.\overrightarrow{MK}\)

\(\Rightarrow x=6\)

a: \(AB=\sqrt{\left(2-1\right)^2+\left(5-3\right)^2}=\sqrt{5}\)

\(AC=\sqrt{\left(4-1\right)^2+\left(-1-3\right)^2}=5\)

\(BC=\sqrt{\left(4-2\right)^2+\left(-1-5\right)^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}\)

\(C=\sqrt{5}+5+2\sqrt{10}\)

b: Tọa độ trung điểm của AB là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+2}{2}=\dfrac{3}{2}\\y=\dfrac{3+5}{2}=4\end{matrix}\right.\)

Tọa độ trung điểm của AC là;

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+4}{2}=\dfrac{5}{2}\\y=\dfrac{3-1}{2}=1\end{matrix}\right.\)

c: tọa độ trọng tâm G là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+2+4}{3}=\dfrac{7}{3}\\y=\dfrac{3+5-1}{3}=\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

d: ABCD là hình bình hành

=>vecto AB=vecto DC

vecto AB=(1;2)

vecto DC=(4-x;-1-y)

vecto AB=vecto DC

=>4-x=1 và -1-y=2

=>x=3 và y=-1-2=-3

M là trung điểm BC \(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{IM}=2\overrightarrow{AI}\Rightarrow\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AI}\)

\(\Rightarrow-\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AI}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}\)

Đặt \(\overrightarrow{AK}=x.\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=-\overrightarrow{AB}+x.\overrightarrow{AC}\)

Do B, I, K thẳng hàng \(\Rightarrow\overrightarrow{BK}\) và \(BI\) cùng phương

\(\Rightarrow\dfrac{-1}{\left(-\dfrac{5}{6}\right)}=\dfrac{x}{\left(\dfrac{1}{6}\right)}\Rightarrow x=\dfrac{1}{5}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{5}\left(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KC}\right)=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AK}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{KC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{KC}\)

\(\Rightarrow4.\overrightarrow{AK}=1.\overrightarrow{KC}\Rightarrow4.\overrightarrow{KA}=1.\overrightarrow{CK}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=4\\m=1\end{matrix}\right.\)

Các kí hiệu em ghi như IM=2AI và nKA=mCK nó là đoạn thẳng hay có vecto?

Xét ΔABC có G là trọng tâm

nên \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

\(\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(3\cdot\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\cdot3\cdot\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MG}\)

b: Gọi giao điểm của BG với AD là K, E là giao điểm của DG với AB

Xét ΔABD có

G là trọng tâm

K là giao điểm của BG với AD

E là giao điểm của DG với AB

Do đó: K là trung điểm của AD và E là trung điểm của AB

Xét ΔABD có

G là trọng tâm của ΔABD

AO là đường trung tuyến

Do đó: \(AG=\dfrac{2}{3}\cdot AO=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AC=\dfrac{1}{3}\cdot AC\)

AG+GC=AC

=>\(GC+\dfrac{1}{3}AC=AC\)

=>\(GC=\dfrac{2}{3}AC\)

Xét ΔDAB có 

G là trọng tâm

DE là đường trung tuyến

Do đó; \(DG=\dfrac{2}{3}DE\)

Xét ΔGDC có GM là trung tuyến

nên \(\overrightarrow{GM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DE}+\dfrac{2}{3}\cdot\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(-\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\right)+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}-\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\right)+\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(2\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB}\)

a: \(\overrightarrow{a}=\left(2;4\right);\overrightarrow{b}=\left(1;-3\right)\)

=>\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\cdot1+4\cdot\left(-3\right)=-10\)

\(\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{10}\)

\(\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{1^2+\left(-3\right)^2}=\sqrt{10}\)

\(cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\overrightarrow{b}}=\dfrac{-10}{2\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}}=-\dfrac{1}{2}\)

=>\(\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=120^0\)

a: \(\overrightarrow{MA}=-3\cdot\overrightarrow{MB}\)

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}\)

=>\(-3\cdot\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}\)

=>\(\overrightarrow{BA}=-4\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{BM}\)

=>M nằm giữa A và B sao cho BA=4BM

b:

Gọi E là trung điểm của AB

Vì E là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}=2\cdot\overrightarrow{NE}\)

 \(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+2\cdot\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)

=>\(2\cdot\overrightarrow{NE}+2\cdot\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{NE}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)

=>N là trung điểm của CE

c: \(\left|\overrightarrow{PA}\right|=\left|\overrightarrow{PB}\right|\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{PB}\\\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PB}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{PB}\)

=>P là trung điểm của AB

a: \(\overrightarrow{AB}=\left(3;0\right);\overrightarrow{AC}=\left(0;-4\right)\)

Vì 0*0<>3*(-4)

nên A,B,C không thẳng hàng

=>Tồn tại tam giác ABC

b; \(AB=\sqrt{\left(2+1\right)^2+\left(1-1\right)^2}=3\)

\(AC=\sqrt{\left(-4\right)^2}=4\)

\(BC=\sqrt{\left(-1-2\right)^2+\left(-3-1\right)^2}=5\)

C=3+4+5=12

c: tọa độ G là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1+2-1}{3}=0\\y=\dfrac{1+1-3}{3}=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

d: ABCD là hình bình hành

=>vecto AB=vecto DC

=>-1-x=3 và -3-y=0

=>x=-4 và y=-3

e: M thuộc Ox nên M(x;0)

\(MA^2=\left(x+1\right)^2+\left(0-1\right)^2=\left(x+1\right)^2+1\)

\(MB^2=\left(x-2\right)^2+\left(0-1\right)^2=\left(x-2\right)^2+1\)

M cách đều A,B

=>MA=MB

=>(x+1)^2+1=(x-2)^2+1

=>x^2+2x+1=x^2-4x+4

=>2x+1=-4x+4

=>6x=3

=>x=1/2

=>M(1/2;0)

f: N thuộc Oy nên N(0;x)

\(NB^2=\left(2-0\right)^2+\left(1-y\right)^2=\left(y-1\right)^2+4\)

\(NC^2=\left(0+1\right)^2+\left(y+3\right)^2=\left(y+3\right)^2+1\)

N cách đều B và C nên NB^2=NC^2

=>(y-1)^2+4=(y+3)^2+1

=>y^2-2y+1+4=y^2+6y+9+1

=>-2y+5=6y+10

=>-8y=5

=>y=-5/8