Question

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi  = .

Answer 1

Ta chứng minh hai mệnh đề:

– Khi  =  thì ABCD là hình bình hành.

Thật vậy, theo định nghĩa của vec tơ bằng nhau thì:

            =   ⇔  = 

                                     và   và  cùng hướng.

 

 và  cùng hướng =>  và  cùng phương, suy ra giá của chúng song song với nhau, hay AB // DC                          (1)

Ta lại có   =   => AB = DC   (2)

Từ (1) và (2), theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, tứ giác ABCD có một cặp cạnh song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành. 

– Khi ABCD là hình bình hành thì  = 

  Khi ABCD là hình bình hành thì AB // CD. Dễ thấy, từ đây ta suy ra hai vec tơ  và  cùng hướng                                          (3)

Mặt khác AB = CD =>  =           (4)

Từ (3) và (4) suy ra   = .