Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng

Nguyễn Trần Thành Đạt
26 tháng 11 2023 lúc 17:20

Bài 11:

a, Thay a=13 vào pt ta được:

\(\left(13-3\right)x^2-2\left(13-1\right)x+13-5=0\\ 10x^2-24x+8=0\\ \Leftrightarrow10x^2-20x-4x+8=0\\ \Leftrightarrow10x\left(x-2\right)-4\left(x-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(10x-4\right)\left(x-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}10x-4=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{5}\\x=2\end{matrix}\right.\\ Vậy:S=\left\{2;\dfrac{2}{5}\right\}\Leftrightarrow a=13\)

b, Để pt có 2 nghiệm phân biệt:

\(\Leftrightarrow\Delta'>0\\ \Leftrightarrow\left(a-1\right)^2-\left(a-3\right).\left(a-5\right)>0\\ \Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)-\left(a^2-8a+15\right)>0\\ \Leftrightarrow6a>14\\ \Leftrightarrow a>\dfrac{14}{6}\\ \Leftrightarrow a>\dfrac{7}{3}\)

Vậy \(a>\dfrac{7}{3}\) thì pt có 2 nghiệm phân biệt

 

Bình luận (0)
Nguyễn Lê Phước Thịnh
26 tháng 11 2023 lúc 19:32

Bài 13:

a: Thay x=-1 vào phương trình \(x^2-2x+m+3=0\), ta được:

\(\left(-1\right)^2-2\cdot\left(-1\right)+m+3=0\)

=>1+2+m+3=0

=>m+6=0

=>m=-6

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left(-2\right)}{1}=2\)

=>\(x_2-1=2\)

=>\(x_2=3\)

b: \(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\left(m+3\right)\)

\(=4-4m-12=-4m-8\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>-4m-8>0

=>-4m>8

=>m<-2

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-2\right)}{1}=2\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m+3}{1}=m+3\end{matrix}\right.\)

\(x_1^3+x_2^3=8\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^3-3\cdot x_1\cdot x_2\left(x_1+x_2\right)=8\)

=>\(2^3-3\cdot2\cdot\left(m+3\right)=8\)

=>\(8-6\left(m+3\right)=8\)

=>6(m+3)=0

=>m+3=0

=>m=-3(nhận)

Bình luận (0)
tu nguyen
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
3 tháng 12 2023 lúc 8:57

Bài 4:

(1): \(x^2-x-5=0\)

a=1;b=-1;c=-5

Vì a*c=-5<0

nên (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Theo Vi-et, ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-1\right)}{1}=1\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=-5\end{matrix}\right.\)

\(\left(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|\right)^2=x_1^2+x_2^2-2\left|x_1\cdot x_2\right|\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2\left|x_1x_2\right|\)

\(=1^2-2\cdot\left(-5\right)-2\left|-5\right|=1+10-10=1\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=1\\\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=-1\end{matrix}\right.\)

TH1: \(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=1\)

=>\(\dfrac{\left|x_1\right|-\left|x_2\right|}{x_1+x_2}=\dfrac{1}{1}=1;\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{-5}=-\dfrac{1}{5}\)

\(\dfrac{\left|x_1\right|-\left|x_2\right|}{x_1+x_2}\cdot\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=1\cdot\dfrac{-1}{5}=-\dfrac{1}{5}\)

\(\dfrac{\left|x_1\right|-\left|x_2\right|}{x_1+x_2}+\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}\)

Phương trình bậc hai lập được sẽ là: \(a^2-\dfrac{4}{5}a-\dfrac{1}{5}=0\)

TH2: \(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=-1\)

=>\(\dfrac{\left|x_1\right|-\left|x_2\right|}{x_1+x_2}=\dfrac{-1}{1}=-1;\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{-5}=-\dfrac{1}{5}\)

\(\dfrac{\left|x_1\right|-\left|x_2\right|}{x_1+x_2}\cdot\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=-1\cdot\dfrac{-1}{5}=\dfrac{1}{5}\)

\(\dfrac{\left|x_1\right|-\left|x_2\right|}{x_1+x_2}+\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=-1+\dfrac{1}{5}=-\dfrac{4}{5}\)

Phương trình bậc hai lập được sẽ là: \(a^2+\dfrac{4}{5}a+\dfrac{1}{5}=0\)

Bình luận (0)
Nguyễn Lê Phước Thịnh
10 tháng 10 2023 lúc 9:50

loading...  loading...  loading...  loading...  

Bình luận (0)
leanh
Xem chi tiết
Hehe
Xem chi tiết
leanh
2 tháng 8 2023 lúc 11:06

giải gấp giúp mình bài này vớiloading...

Bình luận (0)
Nguyễn Lê Phước Thịnh
2 tháng 6 2023 lúc 19:44

loading...

Bình luận (2)
Nguyễn Lê Phước Thịnh
2 tháng 6 2023 lúc 19:41

a: Khi m=-3 thì pt sẽ là x^2+2x-3=0

=>x=-3 hoặc x=1

b: m(x1-x2)=x2(2x2-1)

=>(x1-x2)*x1x2=x2[x2(-x1-x2)-1]

=>x1^2*x2-x1*x2^2=x2^2(-x1-x2)-1

=>x1^2*x2-x1*x2^2+x2^2*x1+x2^2*x2=-1

=>x1x2(x1+x2)=-1

=>m(-2)=-1

=>m=1/2

 

Bình luận (0)
Lê Hoàng Anh
Xem chi tiết
Tô Mì
1 tháng 6 2023 lúc 10:17

Phương trình có : \(\Delta=b^2-4ac=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4.1.\left(-2\right)\)

\(\Rightarrow\Delta=\left(m+1\right)^2+8>0\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Theo định lí Vi-ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+1\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài : \(\left(1-\dfrac{2}{x_1+1}\right)^2+\left(1-\dfrac{2}{x_2+1}\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1-1\right)^2}{\left(x_1+1\right)^2}+\dfrac{\left(x_2-1\right)^2}{\left(x_2+1\right)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left[\left(x_1-1\right)\left(x_2+1\right)\right]^2+\left[\left(x_2-1\right)\left(x_1+1\right)\right]^2}{\left[\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\right]^2}=2\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x_1-1\right)\left(x_2+1\right)\right]^2+\left[\left(x_2-1\right)\left(x_1+1\right)\right]^2-2\left[\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\right]^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_2+1\right)^2\left[\left(x_1-1\right)^2-\left(x_1+1\right)^2\right]+\left(x_1+1\right)^2\left[\left(x_2-1\right)^2-\left(x_2+1\right)^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow-4x_1\left(x_2+1\right)^2-4x_2\left(x_1+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2^2+2x_1x_2+x_1+x_1^2x_2+2x_1x_2+x_2=0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+4x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)=0\)

\(\Rightarrow-2\left(m+1\right)+4\cdot\left(-2\right)+m+1=0\)

\(\Leftrightarrow m=-9\)

Vậy : \(m=-9.\)

Bình luận (0)
Võ Trường Sơn
Xem chi tiết
Akai Haruma
30 tháng 5 2023 lúc 23:44

Bạn cần ghi đầy đủ đề thì mọi người mới giúp được chứ.

Bình luận (0)
周深-Bigfish
Xem chi tiết
HaNa
27 tháng 5 2023 lúc 7:22

\(\Delta=25-24=1>0\)

\(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\)

Theo vi ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=6\end{matrix}\right.\)

Theo đề có: \(P=x_1^3+x_2^3-\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\left(x_1,x_2\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)\)

\(\Leftrightarrow P=5^3-3.6.5-\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)\)

\(\Leftrightarrow P=35-\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)\)

Tính: \(\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=5+2\sqrt{6}=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}\) (thõa mãn \(x_1,x_2\ge0\))

Khi đó: \(P=35-\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

Vậy giá trị của biểu thức P là \(35-\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

Bình luận (0)