Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Ta có:

\(\left(1+1\right)^{2n+1}=C^0_{2n+1}+C^1_{2n+1}+...+C^{2n}_{2n+1}+C^{2n+1}_{2n}\)

\(=2\left(C^0_{2n+1}+C^1_{2n+1}+...+C^n_{2n+1}\right)\)

\(\Rightarrow\left(1+1\right)^{2n+1}=2.2^{20}\)

\(\Leftrightarrow n=10\)

Cái chỗ vế phải biểu thức nghĩa là gì thế bạn?

Chắc là thế này \(3A^{n-2}_n\)

\(gt\Leftrightarrow2.n!-\left(4n+5\right)\left(n-2\right)!=3.\dfrac{n!}{2!}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}n!=\left(4n+5\right)\left(n-2\right)!\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)!=\left(4n+5\right)\left(n-2\right)!\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}n\left(n-1\right)=4n+5\Leftrightarrow n=10\)

\(\left(3x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^{10}=\left(3x^3-x^{-2}\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}C^k_{10}3^{10-k}.x^{3\left(10-k\right)}.\left(-1\right)^k.x^{-2k}\)

\(=\sum\limits^{10}_{k=0}C^k_{10}.\left(-1\right)^k.3^{10-k}.x^{30-5k}\)

=> so hang ko chua x:  \(30-5k=0\Leftrightarrow k=6\)

\(\Rightarrow C^6_{10}.\left(-1\right)^6.3^{10-6}=17010\)

\(\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{4}x\right)^4=\sum\limits^4_{k=0}C^k_4.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4-k}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^k.x^k\)

Nhị thức Newton có 1 đặc điểm là hệ số khi tăng đến số cao nhất sẽ ko tăng nữa mà giảm dần, từ đó ta giả sử \(a_n\) là hệ số lớn nhất\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_n\ge a_{n+1}\\a_n\ge a_{n-1}\end{matrix}\right.\)

\(a_n=C^{n-1}_4.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5-n}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}\)

\(a_{n-1}=C^{n-2}_4.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{6-n}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-2}\)

\(a_{n+1}=C^n_4.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4-n}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}C^{n-1}_4.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5-n}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}\ge C^{n-2}_4.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{6-n}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-2}\\C^{n-1}_4.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5-n}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}\ge C^n_4.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4-n}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\end{matrix}\right.\)

Bạn tự khai triển nốt nhé, sẽ chặn được k là xong. Mà thú thiệt, mấy bài kiểu này cứ mode-7 rồi nhập hàn là xong :)

\(\left(x+1\right)^6=C^k_6.x^k\)

\(x^5\Rightarrow k=5\Rightarrow C^5_6\)

Tuong tu: \(C^5_7;C^5_8;C^5_9;C^5_{10};C^5_{11};C^5_{12}\)

\(\Rightarrow he-so:C^5_7+C^5_8+...+C^5_{12}=...\)

2/ \(\left(a+b\right)^k\Rightarrow k+1\left(so-hang\right)\)

\(\Rightarrow n+6+1=17\Rightarrow n=10\)

6/ \(\left(2a-1\right)^6=\sum\limits^6_{k=0}C^k_6.2^{6-k}.\left(-1\right)^k.a^{6-k}\)

\(\Rightarrow tong-3-so-hang-dau=C^0_6.2^6+C^1_6.2^5.\left(-1\right)+C^2_6.2^4.\left(-1\right)^2=...\)

7/ \(\left(x-\sqrt{y}\right)^{16}=\left(x-y^{\dfrac{1}{2}}\right)^{16}\)

\(\Rightarrow tong-2-so-hang-cuoi=C^{16}_{16}+C^{15}_{16}=...\)

Câu 8 là \(\left(8a^2-\dfrac{1}{2}b\right)^6\) hay \(\left(8a^2-\dfrac{1}{2b}\right)^6\) bạn? (tốt nhất là bạn dùng tính năng gõ công thức toán để đăng đề, hoặc chụp hình gửi đề trực tiếp lên, hiện nay hoc24 đã cho đăng đề bằng hình ảnh)

9.

\(\left(x+8.x^{-2}\right)^9=\sum\limits^9_{k=0}C_9^kx^{9-k}.8^k.x^{-2k}=\sum\limits^9_{k=0}C_9^k8^kx^{9-3k}\)

Số hạng ko chứa x \(\Rightarrow9-3k=0\Rightarrow k=3\)

Số hạng đó là: \(C_9^3.8^3=...\)

15/ Mũ 4=> có 4+1=5 số hạng=> số hạng chính giữa là: \(C^2_4.3^{4-2}.x^2.2^2y^2=58x^2y^2\)

18/ \(x.x^k=x^7\Rightarrow k=6\)

\(C^6_9.3^6.2^3=489888\)

19/ \(C^7_7+C^7_8.\left(-1\right)^7+C^7_9.2^2=...\)

Chuyển hết sang vế phải rồi Mode-7 nhập hàm cho nhanh :)

Nhanh là lúc trắc nghiệm thôi, tự luận vẫn phải ngồi "vẽ nét cho thiên hạ ngắm" :(

\(DKXD:\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x+2\ge1\end{matrix}\right.\Rightarrow x\ge2\)

\(6.\dfrac{x!}{\left(x-2\right)!.2!}-x^2+x-7=\dfrac{\left(x+2\right)!}{\left(x+2-1\right)!}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3x\left(x-1\right)\left(x-2\right)!}{\left(x-2\right)!}-x^2+x-7=\dfrac{\left(x+2\right)!}{\left(x+1\right)!}\)

\(\Leftrightarrow3.x\left(x-1\right)-x^2+x-7=\dfrac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)!}{\left(x+1\right)!}\)

\(\Leftrightarrow3x^2-3x-x^2+x-7=x+2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(tm\right)\\x=-\dfrac{3}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow x=3\)

b) T = a₀+a₁.1²+...+a₁₅.1¹⁵=(1+1²+1³+1⁴)⁵=1024

a)(1+x+x²+x³)⁵=[(1+x)(1+x²)]⁵=(1+x)⁵.(1+x²)⁵

\(=\left(\sum\limits^5_{i=0}C^i_5.x^i\right).\left(\sum\limits^5_{k=0}C^k_5x^{2k}\right)\)

Ta cần tìm i,k: i+2k=10. Khi đó ta thu được các trường hợp sau:

k=3,i=4

k=4,i=2

k=5,i=0

Hệ số của x¹⁰ là: \(C^4_5.C^3_5+C^2_5.C^4_5+C^0_5.C^5_5=101\)

Vậy a₁₀=101

a)(1+x+x²+x³)⁵=[(1+x)(1+x²)]⁵=(1+x)⁵.(1+x²)⁵

\(=\left(\sum\limits^5_{i=0}C^i_5.x^i\right).\left(\sum\limits^5_{k=0}C^k_5x^{2k}\right)\)

Ta cần tìm i,k: i+2k=10. Khi đó ta thu được các trường hợp sau:

k=3,i=4

k=4,i=2

k=5,i=0

Hệ số của x¹⁰ là: \(C^4_5.C^3_5+C^2_5.C^4_5+C^0_5.C^5_5=101\)

Vậy a₁₀=101