Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Lời giải:

Theo khai triển nhị thức Newton ta có:

\(\left ( 1+\frac{2x}{3} \right )^{10}=\sum _{k=0}^{10}C^{k}_{10} 1^{k}\left ( \frac{2x}{3} \right )^{10-k}\)

\(=C^{0}_{10}\left ( \frac{2x}{3} \right )^{10}+C_{10}^{1}\left ( \frac{2x}{3} \right )^9+.....+C_{10}^{10}\left ( \frac{2x}{3} \right )^0\)

Các hệ số: \(C_{10}^0(\frac{2}{3})^{10}; C_{10}^{1}(\frac{2}{3})^9; ...; C_{10}^{10}(\frac{2}{3})^0\)

Xét hàm: \(f(x)=C_{10}^{x}\left(\frac{2}{3}\right)^{10-x}\)

\(f(a+1)=C_{10}^{a+1}(\frac{2}{3})^{9-a}\)

\(f(a)=C_{10}^{a}\left(\frac{2}{3}\right)^{10-a}\)

\(f(a+1)-f(a)=\frac{10!}{(a+1)!(9-a)!}\frac{2^{9-a}}{3^{9-a}}-\frac{10!}{a!(10-a)!}\frac{2^{10-a}}{3^{10-a}}\)

\(=\frac{10!.2^{9-a}}{a!(9-a)!.3^{9-a}}\left[ \frac{1}{a+1}-\frac{2}{3(10-a)}\right]\)

\(=\frac{10!.2^{9-a}}{a!(9-a)!.3^{9-a}}.\frac{28-5a}{3(a+1)(10-a)}\)

Nếu \(a\geq 6\Rightarrow f(a+1)-f(a)< 0\Rightarrow \) hàm giảm

Nếu \(a\leq 6\Rightarrow f(a+1)-f(a)> 0\) , hàm tăng

Do đó điểm cực đại của \(f(x)\) với \(x=0;1;2;....; 10\) đặt tại \(x=6\)

Do đó hệ số lớn nhất là: \(C_{10}^{6}(\frac{2}{3})^4=\frac{1120}{27}\)

a, Số hạng trong khai triển có dạng là :

\(T_{k+1}=C_{10}^k.x^{10-k}.\left(-2\right)^k\)

b, Số hạng chứa \(x^8\) \(\Leftrightarrow x^{10-k}=x^8\)

\(\Leftrightarrow10-k=8\)

\(\Leftrightarrow k=10-8\)

\(\Leftrightarrow k=2\)

Hệ số của số hạng chứa \(x^8\)là :

\(T_3=C_{10}^2.\left(-2\right)^2=180\)

Số hạng trong khai triển có dạng :

\(T_{k+1}=C_6^k.\left(x^2\right)^{6-k}.\left(x^{-1}\right)^k\)

\(=C_6^k.x^{12-2k}.x^{-k}\)

\(=C_6^k.x^{12-3k}\)

Số hạng chứa \(x^9\): \(\Leftrightarrow x^{12-3k}=x^9\)

\(\Leftrightarrow12-3k=9\)

\(\Leftrightarrow3k=12-9\)

\(\Leftrightarrow3k=3\)

\(\Leftrightarrow k=1\)

Hệ số của số hạng chứa \(x^9\)là : \(T_2=C^1_6=6\)

\(x\left(x+1\right)^{10}=x\left(x^{10}+C_{10}^1x^9+C_{10}^2x^8+C_{10}^3x^7+C_{10}^4x^6+C_{10}^5x^5+C_{10}^6x^4+C_{10}^7x^3+C_{10}^8x^2+C_{10}^9x+1\right)\)

\(=x\left(x^{10}+10x^9+45x^8+120x^7+210x^6+252x^5+210x^4+120x^3+45x^2+10x+1\right)\)

\(=x^{11}+10x^{10}+45x^9+120x^8+210x^7+252x^6+210x^5+120x^4+45x^3+10x^2+x\)

=> Hệ số của \(x^4\) là 120

ta có : \(\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C^k_n\left(x\right)^{n-k}\left(\dfrac{-1}{3}\right)^k\)

để có số hạng thứ 3 trong khai triển thì \(k=2\)

\(\Rightarrow\) hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển là \(C^2_n\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2=5\) \(\Rightarrow n=10\)

\(\Rightarrow\) để có số hạng đứng chính giữa thì \(k=5\)

\(\Rightarrow\) số hạng chính giữa là \(C^5_{10}\left(\dfrac{-1}{3}\right)^5x^{10-5}=\dfrac{-28}{27}x^5\)

Tổng tất cả các hệ số bằng \(S\left(1\right)\)

Hay \(=\left(3.1-4\right)^{17}=-1\)